Харди уподоблял математику игре. Его любимой аналогией была аналогия с шахматами, но, с тех пор как компьютеры научились играть в шахматы лучше человека, моей защитой от тех, кто поспешно пытался утверждать, что компьютер вполне может делать – и гораздо быстрее – все то, чем занимаюсь я, была игра го. Математика основывается на интуиции, логических шагах в неизвестное, которые кажутся правильными, даже когда я не вполне уверен, почему мне это кажется. Но когда алгоритм компании DeepMind научился делать нечто очень похожее, это вызвало у меня экзистенциальный кризис.

Если эти алгоритмы способны играть в го, игру математиков, смогут ли они играть и в настоящую математическую игру: смогут ли они доказывать теоремы? Одним из величайших моих достижений в математике была публикация теоремы в журнале Annals of Mathematics. В этом же журнале Эндрю Уайлс опубликовал свое доказательство Великой теоремы Ферма. Это математический аналог журнала Nature. Скоро ли следует ожидать появления в Annals of Mathematics статьи, автором которой будет алгоритм?

Чтобы играть в какую-либо игру, важно понимать ее правила. Что именно я предлагаю сделать компьютеру? Моя работа вовсе не состоит из сидения за столом над гигантскими вычислениями. Если бы это было так, компьютеры оставили бы меня без работы много лет назад. Так чем же на самом деле занимается математик?

Математическая игра в доказательства

Если вы читаете в новостях что-нибудь о математике, это всегда история о том, что некий математик «доказал» какую-нибудь великую, ранее не доказанную гипотезу. В 1995 году газеты захлебывались от восторга в заголовках о доказательстве Великой теоремы Ферма, полученном Эндрю Уайлсом. В 2006 году эксцентричный российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, что дало ему право претендовать на премию размером миллион долларов, назначенную за решение этой задачи[63]. Кроме нее есть еще шесть так называемых «Задач тысячелетия», для решения которых нужно доказать другие трудные гипотезы, имеющиеся у математиков.

Идея доказательства – центральный элемент работы математиков. Доказательство – это логическое рассуждение, отталкивающееся от набора аксиом, самоочевидных истин о числах и геометрии. Анализируя следствия из этих аксиом, можно начать формулировать утверждения о числах и геометрии, которые также должны быть истинными. Эти вновь сформулированные утверждения могут образовать основу нового доказательства, которое, в свою очередь, побудит нас к поиску других логических следствий из тех же аксиом. Так развивается математика: этим она похожа на живой организм, который разрастается из ранее существовавшей формы.

Поэтому математическое доказательство и сравнивают с играми наподобие шахмат или го. Аксиомы – это начальные положения фигур на доске, а правила логического вывода – параметры, определяющие, как может ходить каждая фигура. Доказательство есть серия последовательно сыгранных ходов. С учетом числа возможных ходов в каждой шахматной позиции в этой игре существуют тысячи разных положений фигур на доске. Например, всего после четырех первых ходов (двух за белых и двух за черных) существуют уже 71 852 возможных варианта расположения фигур на доске. Как правило, каждая позиция может быть достигнута несколькими разными путями. Дерево возможных ходов в го растет и того быстрее.

Вы можете спросить: если расставить фигуры на доске случайным образом, возможно ли прийти к этой позиции из начальной? Другими словами, будет ли такая позиция допустимой конфигурацией фигур в игре в шахматы или го? Этот вопрос похож на математическую гипотезу. Например, Великая теорема Ферма – это гипотеза, утверждающая, что у уравнения xn+ yn= znне может быть целочисленных решений x, y и z при n > 2. Задача, которая стояла перед математиками, сводилась к доказательству или опровержению того, что это утверждение – логическое следствие из свойств чисел. Ферма расставил фигуры на доске и сказал, что, по его мнению, игра может дойти до этой конечной точки. Уайлс и все те математики, которые внесли вклад в его работу, продемонстрировали, что последовательность ходов, заканчивающаяся конфигурацией, которую предугадал Ферма, действительно возможна.

Часть работы математика сводится к выбору задач. Многие математики считают, что правильная формулировка вопроса важнее, чем получение ответа на него. Выделение утверждений о числах, которые могут оказаться истинными, требует чрезвычайно острого математического чутья. Очень часто именно на этом этапе в игру вступают наиболее творческие и трудноопределимые стороны мастерства математика. Такая интуиция относительно возможности обнаружения новой истины развивается в течение всей жизни в нашем мире. Часто это понимание приходит в виде ощущения или предчувствия. Объяснять, почему это ощущение истинно, не нужно. Это будет задачей доказательства, поисками которого все и займутся.

В этом одна из причин, по которым компьютерам оказывается трудно заниматься математикой. Нисходящие алгоритмы прошлого чем-то похожи на пьяницу, блуждающего в потемках. Он может случайно попадать в интересные места, но по большей части шатается где попало без цели и без пользы. Но не начнут ли восходящие алгоритмы развивать интуицию и определять интересные области, к которым следует стремиться, опираясь на предыдущие достижения математиков-людей?

Как математики развивают ощущение того, в каком направлении может быть интересно двигаться? У вас в голове могут быть некоторые примеры, подтверждающие вашу догадку, постепенно накапливающиеся данные, позволяющие предположить, что речь идет о некой закономерности, чем-то большем, чем простое совпадение. Но бывает и так, что закономерности, основанные на данных, легко опровергаются. Поэтому так важно придумать доказательство. Иногда на понимание того, что некая закономерность была ложной, уходят многие годы. Я, например, в свое время предположил наличие в моих собственных данных закономерности, на опровержение которой потребовалось десять лет работы аспиранта.

Один из моих любимых примеров того, как опасны догадки, основанные на данных, – это история гипотезы о простых числах, которую выдвинул великий математик XIX века Карл Фридрих Гаусс. Он вывел чрезвычайно изящную формулу для оценки количества простых чисел в промежутке между 1 и произвольным числом N, но считал, что его формула всегда дает завышенное количество простых чисел. Все численные данные указывали, что он прав. Если бы для решения этой задачи использовали компьютер, полученные им данные до сих пор подтверждали бы предположение Гаусса. Однако в 1914 году Дж. И. Литлвуд получил теоретическое доказательство обратного. Оказывается, гипотеза Гаусса начинает давать заниженный результат, но только после перебора количества чисел, большего, чем число атомов во Вселенной (и даже на этом уровне до момента, когда эта гипотеза перестает работать, остается еще очень далеко).