Истоки доказательства

Игру в математические доказательства первыми начали древние греки, которые открыли могущество логических рассуждений в попытках добраться до вечных истин о числах и фигурах. По сути дела, доказательство и есть суть математики. Именно оно есть тот Святой Грааль, которого ищет математик, стремящийся утвердиться в своей профессии. Чтобы получить премию миллион долларов, нужно доказать истинность одной из семи гипотез. Чтобы завоевать Филдсовскую премию, нужно создать доказательство, которое произведет достаточно сильное впечатление на коллег-математиков. А начало этой великой игре, по-видимому, положили «Начала» Евклида.

Объяснить, как устроена игра в математические доказательства, нам снова поможет аналогия с шахматами. У нас есть набор исходных утверждений, называемых аксиомами, которые несколько похожи на расположение фигур в начале шахматной партии. Этими аксиомами и открываются Евклидовы «Начала». Это список утверждений о числах и фигурах, которые математики полагают неоспоримо очевидными. То, что мы можем считать истиной. Разумеется, мы можем ошибаться относительно истинности этих аксиом, но это в некотором смысле не имеет значения для игры, в которую мы собираемся играть. Мы просто соглашаемся, что аксиомы истинны. А если посмотреть на те утверждения, которые Евклид включил в этот список, можно сказать, что все они весьма похожи на фундаментальные истины.

Через любые две точки можно провести прямую. Если А = В, а В = С, то А = С. Если дан любой отрезок прямой, можно построить окружность, радиусом которой будет этот отрезок. А + В = В + А.

Теперь, когда мы знаем, как располагаются на доске фигуры, нам нужно научиться играть в эту игру. Если возможности шахматных фигур ограничены определенными правилами, определяющими, как они могут ходить, то у логических выводов тоже есть правила, позволяющие нам формулировать новые истинные утверждения исходя из того, что мы знали раньше. Например, правило modus ponens[64] гласит: если установлено, что из утверждения А необходимо следует утверждение В и также установлено, что утверждение А истинно, то можно заключить, что утверждение В также истинно. Дополнительное к нему правило modus tollens[65] гласит: если доказано, что из утверждения А необходимо следует утверждение В, но также установлено, что утверждение В ложно, то следует заключить, что утверждение А также ложно.

Последнее правило используется в «Началах» Евклида в доказательстве того, что квадратный корень из 2 не может быть выражен простой дробью. Если предположить, что он может быть выражен простой дробью, то, играя в математические шахматы и сделав несколько логических ходов, мы в конце концов приходим к утверждению, что нечетные числа четны. Но мы знаем, что нечетные числа не четны. Следовательно, применив правило modus tollens, мы приходим к выводу, что квадратный корень из 2 не может быть выражен простой дробью.

С моей точки зрения, признак хорошо разработанной и приносящей удовольствие игры заключается в том, что ее просто организовать, а правила ее просто понять и реализовать и в то же время диапазон партий, которые можно сыграть, чрезвычайно богат и разнообразен. Игре в крестики-нолики просто научиться; в нее просто играть, но очень скоро она становится довольно скучной, потому что приходится повторять уже сыгранные партии. А в шахматах и го из одного и того же начального положения может развиться такое множество разных партий, что людям, посвятившим жизнь этим играм, никогда не бывает скучно играть.

Важное отличие игр, подобных шахматам и го, от игры в математические доказательства состоит в том, что математикам не приходится заново расставлять фигуры перед каждой новой партией. Все партии, сыгранные ранее, становятся основой, исходным положением, с которого может начаться следующая партия. В некотором смысле предыдущие поколения математиков расширили те аксиомы, из которых можем исходить мы, потому что все, что было установлено до сих пор, может быть использовано нами в наших новых партиях.

Замечательно то обстоятельство, что мы придаем этим символам и словам смысл. Прямая – это то, что мы проводим на странице. Буква х должна обозначать число, количество или меру чего-то. Как же компьютер сможет понять, что мы имеем в виду? Изящество этой игры состоит в том, что, хотя мы пытаемся понять, как «устроены» числа и геометрия, мы можем рассматривать всю игру символически. Более того, любой смысл, который мы придаем символам так, чтобы аксиомы оставались истинными, порождает игру, выявляющую свойства тех объектов, которые мы обозначаем этими символами. Это означает, что компьютер может выводить заключения об игре, даже не зная, что именно обозначают символы.

Еще в XIX веке математик Давид Гильберт подчеркивал это обстоятельство в своих лекциях: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках»[66]. Он имел в виду следующее: если взаимоотношения между объектами выражаются аксиомами, логические выводы будут настолько же применимы к стульям и пивным кружкам, насколько и к геометрическим прямым и плоскостям. Это позволяет компьютеру следовать правилам и создавать математические выкладки, не зная, к чему на самом деле относятся эти правила. Это положение будет важно в дальнейшем, когда мы будем говорить об эксперименте с «Китайской комнатой», разработанном Джоном Сёрлом. Этот мысленный эксперимент исследует идею машинного перевода и ставит своей целью продемонстрировать, почему следование правилам не является признаком наличия разума или понимания.

Тем не менее, если следовать правилам математической игры, можно получить математические теоремы. Но откуда берется это стремление создавать доказательства в математике? Если немного поэкспериментировать, любое число можно выразить в виде произведения простых чисел, причем кажется, что в каждом случае есть только один вариант такого разложения. Например, число 105 равно произведению простых чисел 3 × 5 × 7, и нет никаких других простых чисел, перемножение которых дает 105. Можно просто отметить это обстоятельство и понадеяться, что это правило работает всегда. Другие примеры будут только укреплять нашу веру в истинность этого открытия. Более того, мы можем начать считать имеющиеся данные исчерпывающими и через некоторое время даже предложить принять это положение в качестве новой аксиомы.

Но что, если внезапно окажется, что существует некое действительно большое число, которое можно разложить на простые множители двумя разными способами? Дело в том, что для возникновения такой ситуации нам нужно дойти до по-настоящему больших чисел. На мой взгляд, именно здесь мы выделяем то качество, которое отличает математику от естественных наук. Естествоиспытатель убеждал бы других ученых в том, что эта теория хорошо описывает поведение чисел, опираясь на экспериментальные данные. Но доказательство означает, что мы можем продемонстрировать, что такое поведение является логическим следствием из свойств чисел. Мы можем доказать, что никакого исключительного числа, не подчиняющегося этой теории, не существует. Математическое доказательство должно показать, почему число может быть разложено на простые сомножители только одним способом. И такое доказательство позволит следующему участнику игры считать это положение самоочевидным свойством чисел.