Вероятно, вам интересно, как это абстрактное логическое определение помогает определить, скажем, число 4. По Фреге, число 4 – это объем (или класс) всех концептов, под которые подпадают четыре объекта. Так что к этому классу, а следовательно, к числу 4, принадлежит и концепт «быть лапкой песика по имени Снупи», и концепт «прабабушка Готлоба Фреге».

Программа Фреге произвела настоящую сенсацию, однако были у нее и серьезные недостатки. С одной стороны, идея применять концепты – самую суть мышления – к построению арифметики была просто гениальной. С другой – Фреге не разглядел в собственной системе понятий весьма существенные противоречия. В частности, доказано, что одна из его аксиом, так называемый «Основной закон V», ведет к противоречию и поэтому безнадежно ошибочна. Сам по себе закон довольно невинен: он гласит, что объем концепта F идентичен объему концепта G тогда и только тогда, когда под концепты F и G подпадают одни и те же объекты. Однако 16 июня 1902 года разорвалась бомба: Бертран Рассел (рис. 49) написал Фреге письмо, где привел некий парадокс, доказывавший, что Основной закон V приводит к противоречию. Судьба распорядилась так, что письмо Рассела пришло как раз тогда, когда второй том «Основных законов арифметики» готовился к печати. Потрясенный Фреге поспешил сделать к рукописи откровенное примечание: «Едва ли для ученого что-то может быть неприятнее, чем обнаружить, что самые основы его рассуждений рухнули, когда работа уже завершена. Именно в такое положение поставило меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда книга была уже практически в печати». Самому же Расселу Фреге, как человек благородный, написал: «Открытое Вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить арифметику».

Как странно, однако, что один-единственный парадокс оказал такое разрушительное воздействие на целую программу, целью которой было заложить основы математики, но, как отметил Уиллард Ван Орман Куайн, «Не раз и не два в истории случалось так, что открытие парадокса становилось поводом для основательной реконструкции самого фундамента мысли». Именно такой повод и предоставил парадокс Рассела.

Рис. 49

Теорию множеств создал практически в одиночку немецкий математик Георг Кантор. Вскоре стало понятно, что множества играют в математике настолько фундаментальную роль и настолько тесно переплетены с логикой, что любые попытки выстроить математику на основе логики с необходимостью предполагали, что ее будут строить на аксиоматической основе теории множеств.

Рис. 50

Класс или множество – это просто набор объектов. Объекты не обязательно должны быть как-то связаны. Вполне можно говорить об одном классе, в который входят все объекты из следующего списка: телесериалы, которые шли в 2003 году, белый конь Наполеона и понятие истинной любви. Элементы, принадлежащие к определенному классу, называются членами этого класса.

Большинство классов объектов, с которыми вы, скорее всего, сталкиваетесь, не члены самих себя. Например, класс всех снежинок сам по себе не снежинка, класс всех антикварных карманных часов – не антикварные карманные часы и так далее. Однако бывают и такие классы, которые приходятся членами сами себе. Например, класс «все, что не антикварные карманные часы» – член самого себя, поскольку этот класс совершенно точно не антикварные карманные часы. Подобным же образом класс всех классов – член самого себя, поскольку он, очевидно, класс. А как насчет класса «всех тех классов, которые не члены самих себя»[127]?

Назовем этот класс R. Так принадлежит R к самому себе (к классу R) или нет? Очевидно, что R не может принадлежать R, поскольку в таком случае он нарушал бы определение членства в R. Но если R не принадлежит сам к себе, то, по определению, он должен быть членом R. Поэтому, как и в случае с деревенским цирюльником, мы обнаруживаем, что класс R одновременно и принадлежит, и не принадлежит R, а это логическое противоречие. Именно об этом парадоксе Рассел и написал Фреге. Поскольку эта антиномия подрывала сам процесс, по которому могли определяться классы или множества, программе Фреге был нанесен смертельный удар. Хотя Фреге и сделал несколько отчаянных попыток исправить свою систему аксиом, к успехам это не привело. Напрашивался катастрофический вывод: оказывается, формальная логика вовсе не надежнее математики, а напротив, гораздо больше подвержена фатальным противоречиям.

Примерно в то же время, когда Фреге разрабатывал свою программу логицизма, итальянский математик и логик Джузеппе Пеано разработал несколько иной подход. Пеано хотел основать арифметику на аксиоматическом фундаменте. Поэтому он отталкивался от формулировки набора простых лаконичных аксиом. Например, первые три его аксиомы гласили (пер. В. Целищева).

1. Ноль есть число.

2. Последующий элемент каждого числа есть число.

3. Никакие два числа не имеют одного и того же последующего элемента.

Сложность в том, что хотя система аксиом Пеано и в самом деле позволяет воспроизвести известные законы арифметики (если ввести дополнительные определения), на ее основе невозможно дать однозначное определение натуральных чисел.

Следующий шаг проделал Бертран Рассел. Рассел считал, что первоначальная идея Фреге – вывести арифметику из логики – это правильный путь. Поставив перед собой нелегкую задачу, Рассел в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом (рис. 50) создали невероятный шедевр логической мысли – фундаментальный трехтомный труд «Основания математики» («Principia Mathematica»)[128]. Эта книга стала самым авторитетным трудом в истории логики за исключением разве что «Органона» Аристотеля (на рис. 51 приведен титульный лист первого издания).

Рис. 51