Топологам приходится то и дело мысленно переключаться между пространствами разной размерности. Чтобы оперировать при этом некими общими понятиями, они изобрели для себя целый словарь специальных терминов. С “вложением” и “погружением” мы уже знакомы. Еще один – “многообразие”: это обобщение термина “поверхность” в приложении к другим измерениям. Все то, что мы называем “поверхностью”, по определению двумерно, поэтому правильно говорить не “двумерная поверхность” (это тавтология), а “двумерное многообразие”. Сфера, тор, лента Мёбиуса и бутылка Клейна – все это примеры двумерных многообразий. Первые три из них можно вложить в трехмерное пространство, а бутылку Клейна – нет. Прямые и окружности – это одномерные многообразия, а кроме них есть еще (хоть мы и не способны толком их себе представить) трехмерные многообразия, четырехмерные и так далее. Одно из простейших трехмерных многообразий – это трехмерная сфера. Подобно обычной двумерной сфере, которая представляет собой поверхность, ограничивающую шар в трехмерном пространстве, трехмерная сфера – это объект, имеющий три измерения и образующий границу четырехмерного шара. Мы не можем точно представить себе, как выглядел бы трехмерный аналог поверхности, не говоря уже о границах в более высоких измерениях. Но, несмотря на эту нашу ограниченность, у математиков есть весь инструментарий, необходимый им, чтобы оперировать подобными понятиями.

При работе с высшими измерениями порой открываются совершенно неожиданные вещи. В четырехмерном пространстве, например, окружности не могут зацепляться, а обычных узлов просто не существует. То же касается и более высоких размерностей. В четырех измерениях происходит еще одна диковинная штука: сферы там могут “заузляться”. Представить, как это выглядит, мы не в силах – но ведь и двумерные существа так же были бы неспособны представить себе, как окружности могут быть заузлены и при этом не пересекать сами себя.

Как и все другие разделы математики, топология – динамично развивающаяся область знаний, в которой ежегодно делаются новые открытия и ждут своего решения старые и новые проблемы. Одна из наиболее важных – и в топологии, и в математике в целом – известна как гипотеза Пуанкаре. Ее важность не в каком-то очевидном практическом применении: вряд ли она поможет нам быстрее добраться до Марса или найти лекарство от старения. Ее значение для математики чисто теоретическое, оно связано с работой по классификации поверхностей (то есть многообразий) высших размерностей.

Гипотезу впервые выдвинул в 1900 году Анри Пуанкаре, один из основателей топологии как точной научной дисциплины. Многие почитают его как “последнего универсала” – эксперта во всех областях математики своего времени[54]. Пуанкаре разработал методику под названием “гомологии”, которая представляет собой, упрощенно говоря, способ определять и относить к той или иной категории отверстия в многообразиях. Здесь все не так очевидно, как может показаться, поскольку математические отверстия – штуки довольно хитрые, их не так просто заметить и сосчитать, как, скажем, дырки в кренделе или в старом носке. Двумерное пространство в “Астероидах”, например, топологически эквивалентно тору, хотя у тора есть совершенно очевидная дырка, а в пространстве “Астероидов” ее как-то не заметно. Нельзя забывать, что математические отверстия – это абстрактные понятия, которые бывает труднее себе представить, чем, допустим, дырку в бублике; а кроме того, они еще окружены “петлями” – так что гомологии можно определить и как способ анализа различных типов петель в многообразиях.

Исходное предположение Пуанкаре заключалось в том, что гомологий достаточно, чтобы определить, является ли то или иное трехмерное многообразие топологически эквивалентным трехмерной сфере. Но уже через несколько лет он сам опроверг эту гипотезу, построив контрпример: гомологическую сферу Пуанкаре, которая истинной трехмерной сферой не является, но имеет те же гомологии. После дальнейших исследований он сформулировал свою гипотезу в новом виде. Если говорить простым языком, она гласит, что любое конечное трехмерное пространство, не имеющее отверстий, может быть непрерывно деформировано в трехмерную сферу. Несмотря на все усилия математиков, в XX веке эта гипотеза так и осталась недоказанной. Ее значение было столь велико, что в 2000 году Математический институт Клэя включил ее в список семи важнейших проблем, за решение которых объявил вознаграждение в миллион долларов США. Три года спустя справедливость гипотезы Пуанкаре доказал российский математик Григорий Перельман в ходе доказательства другой близкой проблемы – гипотезы геометризации Тёрстона.

В 2006 году Перельману была присуждена Филдсовская премия, которую считают самой престижной наградой в математике и часто приравнивают по статусу к Нобелевской. Затем, в 2010 году, было объявлено, что его работа отвечает критериям для вручения 1 000 000 долларов от Математического института Клэя. Однако Перельман от обеих наград отказался, по всей видимости, по соображениям этического порядка. Во-первых, по его мнению, они не отражали важный вклад, который внесли в решение проблемы другие ученые, в первую очередь американский математик Ричард Гамильтон, чью работу Перельман развил и продолжил. Кроме того, он был недоволен неэтичным поведением некоторых исследователей, в особенности китайских математиков Чжу Сипина и Цао Хуайдуна, опубликовавших в 2006 году статью с результатами проверки доказательства Гамильтона – Перельмана, но при этом пытавшихся создать впечатление, что авторы доказательства – они сами. Позже они отозвали исходную статью, озаглавленную “Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации: приложение теории Гамильтона – Перельмана о потоках Риччи”, и опубликовали новый вариант, с более скромными формулировками. Но сделанного не вернуть: Перельман был глубоко разочарован как их поведением, так и отсутствием осуждения их действий со стороны других математиков. В интервью журналу The New Yorker в 2012 году он сказал: “Пока я был не на виду, у меня имелся выбор: либо поднять шумиху [по поводу нарушения этических норм], либо ничего не делать и позволить обращаться с собой как с послушной собачкой. Теперь, когда я стал настолько заметным, я не могу оставаться собачкой и молчать. Вот почему мне пришлось уйти”. Не совсем понятно, то ли Перельман навсегда ушел из математики, то ли работает себе спокойно над другими проблемами. Ясно одно: быть в центре внимания – не для него. “Меня не интересуют деньги и слава, – сказал он после присуждения ему награды Математического института Клэя. – Я не хочу находиться на всеобщем обозрении, как животное в зоопарке”. Так или иначе, решив наконец одну из самых важных и сложных задач топологии, он прочно занял свое место в истории.

Еще одна проблема, много лет не дававшая покоя топологам, – гипотеза триангуляции. И она тоже не так давно была разрешена – правда, в этом случае исходное предположение было опровергнуто. В ней, по сути, ставится вопрос: возможно ли любое геометрическое пространство разделить на более мелкие фрагменты? Гипотеза предполагает, что да. Сферу, например, можно без остатка разделить на треугольные “плитки”. Правильный икосаэдр, или многогранник с двадцатью гранями в форме правильных треугольников, – вот грубое приближение сферы, однако его можно бесконечно улучшать, увеличивая число граней и меняя форму треугольников. Точно так же “триангулируется”, то есть разбивается на треугольники, и тор. Трехмерное пространство можно “нарезать” на произвольное количество тетраэдров. Но возможно ли триангулировать геометрические объекты во всех пространствах более высокой размерности, разбивая их на имеющиеся там аналоги треугольника? В 2013 году румынскому математику, тогда профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Чиприану Манолеску удалось доказать, что это невозможно. Манолеску, вундеркинд и единственный человек, кому удалось три раза подряд набрать максимальное количество баллов на Международной математической олимпиаде, впервые столкнулся с проблемой триангуляции, будучи аспирантом в Гарварде в начале 2000-х годов. В то время он не решился заняться “неприступной задачей”, но годы спустя понял, что та самая теория, о которой он писал в своей кандидатской диссертации (посвященной так называемым гомологиям Флоера), – ключ к решению проблемы. Воспользовавшись результатами своих более ранних исследований, он сумел доказать, что в размерностях 5 и выше существуют многообразия, для которых триангуляция невозможна, – опровергнув тем самым гипотезу триангуляции. Это очень серьезное достижение, учитывая, что с использованием иных методов анализ даже четырехмерного пространства на возможность триангуляции – задача чересчур сложная.