Упрощая, сформулируем аксиому выбора так: если дан любой набор множеств, всегда возможно выбрать из каждого ровно по одному неповторяющемуся элементу и составить из них новое множество. В повседневных ситуациях это кажется очевидным: например, можно выбрать по одному человеку из каждой страны мира и собрать их в одном помещении. Проблема в том, что не совсем понятно, как это осуществить, если число множеств бесконечно и сами они имеют бесконечный размер. В таком случае сделать необходимый выбор может быть просто невозможно, и тогда аксиома выбора начинает больше походить на произвольно навязанное правило, чем на утверждение, с которым все могут согласиться. И все же, несмотря на это, большинство математиков сегодня охотно принимают аксиому выбора, поскольку она необходима им для доказательства множества важных теорем. Порой ее применение приводит к результатам, кажущимся на первый взгляд совершенно невероятными. Один из них: парадокс Банаха – Тарского, он же парадокс удвоения шара, который мы уже обсуждали в девятой главе и согласно которому шар можно разрезать на конечное число частей, а затем собрать из них две копии того же шара, удвоив таким образом исходный объем. Под “разрезанием” здесь подразумевается абстрактное, математическое разбиение, невозможное в реальном мире. И все равно это больше похоже на колдовство, чем на математику. Тем не менее, если применять аксиому выбора, промежуточные части разрезанного шара можно считать не сплошными кусочками, а своего рода разрозненными “облачками”, не имеющими определенного объема, так что при их сборке легко получить объем, в два раза (или хоть в миллион) превышающий начальный.

Раз математики вольны сами выбирать для себя наборы аксиом, которые им больше нравятся и лучше отвечают поставленным целям, то, казалось бы, ничто не мешает им в конце концов составить такую систему аксиом, что позволит доказать любое общезначимое утверждение в математике. Другими словами, с правильной системой аксиом должно быть возможно доказать все, что математически истинно. У ведущих теоретиков начала XX века не было повода усомниться в такой возможности, и они активно искали доказуемо полную систему математики. Видное место среди них занимал немец Давид Гильберт, известный своими многочисленными достижениями в современной математике и составленным им списком из двадцати трех самых важных не решенных на тот момент математических проблем. В 1920 году он предложил реализовать проект, который бы продемонстрировал, что вся математика основывается на грамотно выбранной системе аксиом и что непротиворечивость такой системы можно доказать. Десятилетие спустя эти надежды рухнули, разнесенные в пух и прах выводами австрийского (а позже американского) математика, логика и философа Курта Гёделя.

В 1931 году, за несколько лет до отъезда Гёделя из Австрии и начала работы в Институте перспективных исследований в Принстоне, где он подружился с Альбертом Эйнштейном, им были опубликованы две сенсационные, шокирующие теоремы – первая и вторая теоремы о неполноте. Если в двух словах, первая из них гласит, что любая математическая система, достаточно сложная, чтобы включать в себя обычную – школьную – арифметику, не может быть одновременно и полной, и непротиворечивой. Полная система – это такая, в которой все, что в нее входит, можно доказать или опровергнуть. Непротиворечивая – значит не содержащая таких утверждений, которые могут быть одновременно и доказаны, и опровергнуты. Как гром среди ясного неба, теоремы Гёделя о неполноте показывали, что в любой математической системе (за исключением самых простых) всегда найдутся утверждения истинные, но недоказуемые. Теоремы о неполноте в каком-то смысле аналогичны принципу неопределенности в физике, поскольку также указывают на существование фундаментального предела познания. И, как и принцип неопределенности, они раздражают и подавляют нас, дразня тем, что реальность – в том числе чисто интеллектуальная – самим своим поведением препятствует полному познанию того, что мы пытаемся постичь разумом. Грубо говоря, они показывают, что истина сильнее доказательства – а это ненавистно, особенно для математика.

Работа Гёделя и его поразительные выводы стали возможны только после того, как математики и логики признали необходимость формализовать математические системы с помощью четко сформулированных наборов аксиом. Путь в этом направлении был указан еще в античные времена Евклидом. Но только во второй половине XIX века, с разработкой теории множеств и математической логики, процесс формализации приобрел необходимую строгость и появилась возможность распространить его на любую систему математики, какую только можно себе представить. Для арифметики, которую мы проходим в школе (что изучает числа натурального ряда: 0, 1, 2, 3, …), аксиоматическое основание разработал итальянец Джузеппе Пеано; оно до сих пор используется математиками почти без изменений. Некоторые из утверждений обычной арифметики, например “2 + 2 = 4”, кажутся настолько очевидными, что непонятно, зачем их вообще доказывать. И все же это необходимо. Тот факт, что они знакомы нам с детства, вовсе не означает, что их можно принимать как сами собой разумеющиеся. В арифметике Пеано утверждения вроде “2 + 2 = 4” доказать очень просто, для этого 2 и 4 представляются в более обобщенной форме – как SS0 и SSSS0 (где S означает successor – элемент, следующий за числом ряда). Несложно в ней и опровергнуть утверждения типа “2 + 2 = 5”. В то же время в ней, как и следовало ожидать, невозможно опровергнуть, что 2 + 2 = 4, или доказать, что 2 + 2 = 5. Но в арифметике Пеано было бы мало толку, если бы она справлялась только с такими простенькими задачками. Ее сила – в способности оперировать гораздо более сложными утверждениями об арифметике. Первоначально математики считали, что с ее помощью можно доказать или опровергнуть любое из подобных сложных утверждений без исключения и весь вопрос лишь в наличии достаточного времени. Гёдель же своей первой теоремой показал, что это не так.

В качестве примера он взял одно из утверждений об арифметике Пеано, которое невозможно было ни доказать, ни опровергнуть средствами самой этой арифметической системы. Он показал, что если это утверждение доказуемо, то оно ложно (а значит, может быть опровергнуто), а если оно может быть опровергнуто, то может быть и доказано. В любом из этих случаев арифметика Пеано, если она полна, оказывается противоречивой. Мы вправе попробовать пойти на уступки: хорошо, пусть система неполна, но ведь должен же быть способ доказать, что арифметика Пеано (или любая другая система) непротиворечива. Увы, вторая теорема Гёделя о неполноте разбивает и эту последнюю надежду, демонстрируя, что любое доказательство непротиворечивости системы (средствами самой этой системы) автоматически доказывает и обратное – что она противоречива. Не все математики, правда, убеждены, что в вопросе непротиворечивости за Гёделем последнее слово.

В 1900 году Гильберт включил доказательство непротиворечивости аксиом арифметики вторым пунктом в свой знаменитый список нерешенных (на тот момент) проблем. В 1931 году Гёдель своими теоремами, казалось бы, лишил математиков надежды, что эта проблема когда-нибудь будет решена. Но всего несколько лет спустя, в 1936-м, немецкий математик и логик Герхард Генцен, ассистент Гильберта в Гёттингенском университете в 1935–1939 годах, опубликовал статью, в которой доказал непротиворечивость арифметики Пеано – то есть пришел к заключению, вроде бы диаметрально противоположному выводу Гёделя. Однако, в отличие от Гёделя, Генцен не пытался доказать непротиворечивость системы Пеано средствами самой этой системы. Вместо этого он прибег к помощи ординалов с определенными свойствами, в частности одного очень большого ординала (c ним мы уже встречались в десятой главе), названного Кантором “эпсилон-ноль” (ε0). Это число настолько колоссально, что его невозможно описать средствами арифметики Пеано. Тем не менее, как обнаружил Генцен, его можно использовать для формулировки и доказательства утверждений, которые нельзя доказать в арифметике Пеано, – в том числе утверждения о непротиворечивости самой этой системы.