В начале 1980-х американский геометр Уильям Тёрстон, умерший в 2012 году, задумал проект, в рамках которого предполагалось описать все существующие трехмерные многообразия. Для двух измерений подобная задача уже решена. Вот двумерные многообразия: сфера, тор, двойной тор (крендель), тройной тор и так далее. К ним можно добавить неориентируемые поверхности, такие как бутылка Клейна и проективная плоскость (она получается, если соединить края двух лент Мёбиуса с одинаковой закруткой). Тёрстон применял метод, позволяющий представить многие из этих двумерных многообразий многоугольниками. Например, если взять квадрат и соединить его противоположные стороны, получится тор. С двойным тором уже сложнее, но Тёрстон победил и его. Он получил двойной тор, попарно соединив определенные стороны восьмиугольника, вложенного в гиперболическую плоскость. Такое вложение позволяет избежать проблемы, возникающей при попытке сделать то же с обычным евклидовым восьмиугольником. Иначе бы двойной тор имел точку, общую для всех вершин восьмиугольника, сумма углов которого равнялась бы 1080 градусам, а не 360, как требуется. В гиперболической геометрии – той, что имеет дело с седловидными поверхностями, или, точнее, поверхностями, в любой своей точке искривляющимися противоположным образом по сравнению со сферой, – восьмиугольники правильного размера могут иметь углы 45 градусов, что решает проблему.

Тёрстон попытался сделать для трех измерений нечто похожее. В двух измерениях существует три вида однородных геометрий: эллиптическая, евклидова и гиперболическая. Эллиптическую и евклидову можно легко вложить в пространство. Гиперболическую же вложить невозможно, именно поэтому она была открыта много позднее. В трехмерном пространстве у каждой из этих геометрий есть свой аналог, но кроме них в нем есть и другие – всего восемь. Так же как и в двух измерениях, самая сложная для понимания и работы – гиперболическая. В 2012 году Яну Аголу удалось составить перечень всех гиперболических многообразий (в то время только этот случай еще ждал своего разрешения). Некоторые из использованных им методов, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к исходной задаче: скажем, он строил комплексы из кубов различных размеров и анализировал гиперплоскости, рассекающие эти кубы пополам. У подобных многообразий есть практическое применение: например, ряд космологов предполагает, что Вселенная в целом имеет эллиптическую геометрию и представляет собой конечное многообразие – додекаэдр, определенные грани которого отождествлены. Такое многообразие возможно классифицировать, используя методику Агола.

Разумеется, в топологии и сейчас есть множество нерешенных проблем, и, вероятно, так будет всегда – ведь чем больше мы расширяем границы познанного, тем яснее понимаем, как многого еще не знаем. Но топология сегодня – уже не та узкоспециализированная, абстрактная область знаний, какой она была больше ста лет назад. Она имеет уйму практических применений, в том числе в робототехнике, физике конденсированного состояния, квантовой теории поля. А идеи топологии используются почти во всех областях математики.

Математика – единственная наука, где возможна абсолютная достоверность. Ее утверждения и теоремы могут быть доказаны безусловно и безоговорочно и останутся истинными уже навсегда. Именно поэтому математики так одержимы поиском доказательств. Строго доказанное предположение становится неопровержимым фактом, незыблемым фундаментом для будущих исследований. Единственное неизбежное и досадное облако, омрачающее в остальном ясный горизонт математики, – это сознание того, что всегда, в любой математической системе, будут существовать утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами самой этой системы.

Примерно в 1941 году логик австрийского происхождения Курт Гёдель, близкий друг и коллега Эйнштейна по Институту перспективных исследований в Принстоне, доказал существование Бога. В отличие от Эйнштейна, чьи религиозные убеждения находились где-то посередине между агностицизмом и пантеизмом (однажды он сказал, что верит в “Бога Спинозы”), Гёдель был не посещающим церковь теистом и, по утверждению его жены, “каждое воскресное утро читал в постели Библию”. Опубликованное им доказательство существования Бога, впрочем, не имело никакого отношения ни к его лютеранским корням, ни вообще к чему-либо, что могло бы найти отклик в душе человека неискушенного. Оно представляло собой плод его изощренного математического ума. Первая строка выглядит так:

Последующие выкладки тоже мало что проясняют. Заканчивается доказательство кульминационным

Для нас, простых смертных, это означает: “Нечто богоподобное безусловно существует”.

Само собой разумеется, доказательство Гёделя не могло остаться неоспоренным. И хотя, записанное в нотации так называемой модальной логики, оно выглядит весьма впечатляюще и строго научно, основано оно на множестве сомнительных и спорных допущений. Совсем иначе обстоит дело с результатами других, более известных исследований Гёделя – прежде всего с его потрясшими мир теоремами о неполноте, о которых мы поговорим чуть позже.

Для разных людей “доказательство” означает разные вещи. Для юриста оно может принимать различные формы в зависимости от типа разбираемого дела и судебного органа. В юриспруденции доказывание по сути сводится к сбору свидетельских показаний и вещественных улик, причем требования к их объему и качеству, необходимые, чтобы убедить судью или жюри присяжных, разнятся при рассмотрении гражданских и уголовных дел. В гражданском процессе решение основывается на принципе большей вероятности: судья вправе признать ответчика виновным, если придет к заключению, что тот “вероятнее всего” нарушил закон или что существуют “обоснованные подозрения”. В англо-американской системе уголовного права обвиняемый считается невиновным, пока его вина не доказана; в этом случае “доказательством” признается не просто высокая вероятность виновности, но виновность “вне всяких разумных сомнений”.

Курт Гёдель.