Но даже в процессе изучения арифметики или более абстрактных областей математики работа любого ученика сводится к поиску закономерностей. Я пыталась стимулировать своих детей к тому, чтобы они воспринимали себя как искателей закономерностей, и недавно увидела результат, когда моя восьмилетняя дочь осваивала азы деления. Она только что изучила «традиционный алгоритм», но потом ей задали такие примеры:

Она пришла к выводу, что алгоритм применим только в некоторых случаях. Поработав над заданиями, моя дочь сказала: «Вижу закономерность; метод цикла деления [под которым она подразумевала традиционный алгоритм] помогает только тогда, когда делимое больше делителя». Я не сторонник обучения делению с помощью традиционного алгоритма: часто он не позволяет ученикам увидеть ситуацию в целом и препятствует пониманию значения разряда. Но меня порадовало то, что ориентация на поиск закономерностей помогла моей дочери размышлять о закономерностях, а не слепо придерживаться метода. Я не утверждаю, что традиционный алгоритм бесполезен. Но он может принести пользу после того, как ученики поймут, что есть много стратегий деления. Изучая деление, ученики должны использовать методы, стимулирующие осмысление чисел, участвующих в операции, и самой концепции деления.

Когда учителя объясняют математические методы, на самом деле они показывают закономерности: демонстрируют нечто постоянное, общее. Когда мы умножаем на 10 любое число больше 1, ответ обязательно содержит 0. Когда мы делим длину окружности на ее диаметр, мы всегда получаем число π. Все это закономерности. Когда ученикам предлагают воспринимать математику как науку о закономерностях, они испытывают воодушевление по отношению к этому предмету. Кроме того, им можно предложить поразмышлять о характере закономерностей: «Можете ли вы обобщить этот случай?» Кит Девлин, ведущий математик и «математический человек» Национального общественного радио, написал ряд замечательных книг для широкого круга читателей. В одной из моих любимых книг «Математика: наука о закономерностях» Девлин показывает, что работа математиков сводится к использованию и изучению закономерностей, проистекающих из того, что он называет окружающим миром или человеческим разумом. Девлин цитирует великого математика Уолтера Сойера: «Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей», а закономерности включают в себя «любую регулярность, которую может распознать разум». Девлин соглашается с этим, утверждая: «Суть математики — не числа, а жизнь. Это мир, в котором мы живем. Это идеи. Будучи отнюдь не бессодержательной и стерильной, какой ее часто изображают, она наполнена творчеством» (Devlin, 2001).

Откройте ученикам мир закономерностей; дайте им активную роль в отслеживании закономерностей во всех областях и на всех уровнях.

В главе 3 я говорила о Мариам Мирзахани, математике и моей коллеге из Стэнфордского университета. Она попала в сводки новостей во всем мире, когда стала первой женщиной, получившей Филдсовскую премию. Обсуждая огромный вклад Мариам в развитие математики, специалисты говорили о связи ее работы со многими областями этой науки, такими как дифференциальная геометрия, комплексный анализ и динамические системы. Мариам размышляла так: «Мне нравится пересекать воображаемые границы, которые люди устанавливают между разными областями. Это очень воодушевляет… Есть так много инструментов, и ты не знаешь, какой из них сработает. Все дело в том, чтобы быть оптимистом и пытаться находить связи между разными вещами». Мне хотелось бы, чтобы все ученики мыслили так же.

Когда ученики устанавливают и видят связи между разными методами, они начинают понимать истинную математику и получают от нее гораздо большее удовольствие. Это особенно важно для вовлечения большего числа девочек в различные области STEM (подробнее см. главу 6). Стандартная учебная программа часто препятствует установлению связей, поскольку представляет математику как набор разрозненных тем. Но учителя могут и должны восстанавливать связи, постоянно рассказывая о них, подчеркивая их важность и предлагая ученикам поразмышлять о связях и обсудить их. На видео, представленном на сайте YouCubed, показано, как тема пропорционального рассуждения связывает дроби, графики, треугольники, коэффициенты, теорему Пифагора, таблицы, фигуры, угол наклона и умножение (YouCubed at Stanford University, 2015c; http://www.youcubed.org/tour-of-mathematical-connections). Мы сняли это видео, чтобы продемонстрировать связи между разными областями математики (о существовании которых ученики, возможно, даже не подозревали), и помочь им размышлять о таких связях. На основании этого видео учеников необходимо стимулировать к исследованию и поиску математических связей разными способами.

Ниже представлено несколько способов привлечения внимания к связям в математике.

• Поощряйте учеников предлагать разные методы решения задач, а затем найти связи между ними, например обсудив их сходства и различия и почему можно использовать один метод, а не другой. Это можно сделать с методами, которые используются для решения числовых задач (см. рис. 5.1 в главе 5).

• Предложите ученикам находить связи между математическими концепциями в процессе работы над задачами. Например, обратите внимание на две математические задачи, представленные в примере 9.4 и на рис. 9.4.

Рис. 9.4. Решение задачи с собачьими галетами

Учителя могут предложить ученикам представить решение более чем в одной форме и связать числа в своих решениях с диаграммами, что позволит задействовать разные пути в головном мозге. Некоторые ученики могут использовать бумагу в клетку, другие — числовую ось, еще кто-то — воспользоваться кубиками или другими мелкими предметами. Учителя могут предложить ученикам поразмышлять о разных методах, которые можно использовать для деления на равные группы (в частности, сложение и умножение), а также о том, как эти методы связаны друг с другом.

В разных заданиях, представленных в примере 9.5, ученики должны сфокусироваться на разных областях математики и связях между ними. Успешные ученики — не те, которые представляют себе математику как набор разрозненных тем (такой точки зрения придерживается большинство учеников). Успешными можно считать скорее тех, кто воспринимает ее как совокупность взаимосвязанных концепций (Program for International Student Assessment (PISA), 2012). Именно такой подход учителя должны активно поощрять, особенно если учебники создают противоположное впечатление. Математика как совокупность связей вдохновляет и притягивает учеников, и все учителя могут создать условия для того, чтобы дети увидели связный характер математики.