Свяжите математику с реальным миром с помощью моделирования

Школьники объясняют свою неприязнь к математике в первую очередь ее абстрактным характером и якобы несоответствием реальному миру. Как ни печально, это отражает преподавание математики в школе: ведь на самом деле она повсюду. Она настолько важна для успешной жизни, что ее назвали новым «гражданским правом» — важным элементом эффективного функционирования в обществе (Moses & Cobb, 2001). Когда я проводила интервью с группой молодых людей в возрасте 24 лет, которые только что получили традиционное математическое образование, и спросила их о роли математики в их жизни и работе, они выразили разочарование в связи с полученным образованием. Эти молодые люди сказали, что видят математику повсюду в окружающем мире и каждый день используют ее в своей работе, но опыт ее изучения в учебных заведениях не дал им ощущения реальной природы математики и ее важности для их будущего. По их словам, если бы они знали, что математика — не мертвая дисциплина, не имеющая отношения к реальности, и что она может сыграть важную роль в их взрослой жизни, это полностью изменило бы их мотивацию на уроках в школе.

Необходимость сделать математику интересной и связанной с реальным миром часто приводит к тому, что ее ставят в ситуацию, которую я называю «псевдоконтекстом» (Boaler, 2015a), призванным отражать реальность. Ученики работают над придуманными задачами из реального мира, которые далеки от реальности, как в случае поездов, которые мчатся навстречу друг другу по одному пути. Такой контекст не помогает ученикам узнать, что математика — полезная дисциплина. Он создает противоположное впечатление: будто математика — нечто чуждое и нереальное. Чтобы ученики могли успешно решать искусственные задачи из реального мира, им предлагают представить себе, что ситуация реальна, игнорируя при этом все, что они знают о жизни. Возьмем в качестве примера такие типичные задачки.

• Джо может выполнить работу за 6 часов, а Чарли — за 5 часов. Какую часть работы они могут выполнить, работая вместе 2 часа?

• Ресторан берет 2,5 доллара за 1/8 часть пирога. Сколько стоит весь пирог?

• Пицца разделена на 5 кусочков для 5 друзей на вечеринке. Три друга съедают свои кусочки пиццы, но потом приходит еще 4 друга. На сколько частей следует поделить два оставшихся кусочка пиццы? (Boaler, 2015a)

Все эти вопросы взяты из опубликованных учебников, подобные задачи дети решают на уроках математики. Однако они лишены смысла. Всем известно, что люди работают вместе не с той же скоростью, что и по отдельности; рестораны назначают другую цену на большие порции, а если на вечеринку приходит больше друзей, заказывают еще одну пиццу — никто не режет оставшиеся кусочки. В итоге дети приходят к выводу, будто математика не имеет отношения к реальной жизни. На самом деле многие считают, что, приходя на урок математики, они попадают в Страну математики — причудливое и загадочное место, которое требует, чтобы они оставили свой здравый смысл за дверью.

Как же помочь ученикам увидеть широкое применение математики и ее практическую ценность, не прибегая к псевдоконтексту? В мире есть множество удивительных ситуаций, которые можно объяснить с помощью математики. Мой онлайн-курс помог слушателям понять это, показав им математику в снежинках, работе пауков, жонглировании и танцах, а также в криках дельфинов. Такая математика охватывает все уровни: от начальной школы до старших классов (Stanford Online Lagunita, 2014). Не все математические задачи могут или должны быть помещены в контекст реального мира: некоторые из самых замечательных задач, с помощью которых школьники осваивают количественное мышление, не имеют контекста. Но важно сделать так, чтобы ученики хотя бы время от времени видели применимость математики и работали с переменными из реального мира.

Конрад Вольфрам призывает тех, кто смотрит его выступление на TED, рассматривать математику как дисциплину, во главе угла которой находится постановка вопросов и формирование математических моделей (Wolfram, 2010). Он подчеркивает, что моделирование занимает центральное место в математике этого мира. В стандартах Common Core также делается акцент на моделировании как стандартной математической практике.

Моделирование с помощью математики

На мой взгляд, один из важнейших аспектов вклада стандартов Common Core состоит в том, что они включают в себя математическую практику: действия, которые важны для математики и которые ученикам необходимо выполнять, осваивая эту науку. «Моделирование с помощью математики» — один из восьми стандартов математической практики (см. врезку).

Акт моделирования можно рассматривать как упрощение задачи из реального мира и ее приведение к чистому математическому виду, который помогает решить ее. Моделирование осуществляется во всех областях математики, но ученики, как правило, не знают о том, что занимаются им, или им не предлагали поразмышлять над этим.

Рон Федкив — специалист по прикладной математике Стэнфордского университета, который занимается компьютерными спецэффектами. Его математические модели легли в основу спецэффектов в таких признанных фильмах, как «Пираты Карибского моря: сундук мертвеца» и «Звездные войны. Эпизод III. Месть ситхов». Федкив занимался чистой математикой до 23 лет, после чего перешел в область прикладной математики. На работе он создает новые алгоритмы, позволяющие вращать объекты, имитировать столкновения и «математически соединять слои падающей капли воды».

Математическое моделирование используется также в уголовных делах и помогло раскрыть много громких убийств. NUMB3RS («Числа») — успешный телесериал об агенте ФБР, который часто прибегает к помощи своего брата-математика. В первом эпизоде представлена реальная история о жестоком серийном убийце. Агенты ФБР отслеживали места, где побывал маньяк, но не могли увидеть закономерность. Оказавшись в тупике, агент ФБР вспомнил, что его брат-математик всегда называет математику наукой о закономерностях. Он попросил брата о помощи. Математик проанализировал ситуацию с учетом важной информации о серийных убийцах, в частности того факта, что они чаще всего нападают на своих жертв неподалеку от дома, но оставляют буферную зону, в пределах которой не совершают нападений. Он пришел к выводу, что может определить закономерность с помощью упрощенной математической модели. Она позволяла выявить «горячую зону», в которой с большой вероятностью мог жить серийный убийца. Агенты ФБР допросили всех мужчин определенного возраста, которые жили в этой зоне, и дело было раскрыто. Этот эпизод основан на трудах математика Кима Россмо, разработавшего метод определения географического местоположения преступника (Criminal Geographic Targeting, CGT) с использованием математических моделей, который применяют стражи порядка во всем мире.