Теперь давайте подумаем обо всех числах от 1 до N включительно. Каждое из них (за исключением 1) делится на одно или несколько простых чисел; иными словами, любое число (кроме 1) делится на какое-то простое число.

Сколько чисел от 1 до N делится на 2? Очевидно, что половина (четные числа). Вычеркнем их и оставим лишь нечетные:

Количество целых чисел между 1 и N, которые мы вычеркнули, равно N / 2.

Вычеркнем из оставшихся чисел те, которые делятся на 3. Вот что получится:

Мы удалили треть оставшихся чисел[24]. Осталось две трети, а от изначального количества –

Продолжим в том же духе и вычеркнем числа, делящиеся на 5, удалив таким образом пятую часть оставшихся чисел. Получится чисел. Вот что останется:

Дальше мы вычеркиваем числа, делящиеся на 7, оставив шесть седьмых от нашего перечня, и будем двигаться по этому пути, пока не дойдем до числа P.

В конце концов количество тех чисел, которые мы не вычеркнули, станет равно

Так как все числа от 1 до N, кроме 1, делятся на какое-то простое число, выражение (C) должно быть равно 1. Верно? Вспомним, что N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P, подставим это произведение в выражение (C) и перегруппируем множители:

Это дает 1 × 2 × 4 × 6 × … × (P – 1), что существенно больше 1! Выражение (C) должно быть равно 1, но очевидным образом не равно 1. Ошибка заключалась в изначальном предположении о том, что количество простых чисел конечно. Следовательно, их бесконечно много.

Две сложные задачи

Есть много захватывающих вопросов о простых числах. Здесь я расскажу про две самые печально известные проблемы.

Хотя простых чисел бесконечно много, они встречаются все реже и реже, когда мы последовательно двигаемся от единицы к бесконечности. Позже (в главе 7) мы проанализируем среднюю разность между двумя соседними большими простыми числами. Однако простые числа все равно часто встречаются рядом, отличаясь на две и более единицы (единственная пара с отличием на один – 2 и 3). Если простые числа отличаются на две единицы, их называют простыми числами-близнецами, или парными простыми числами. Наименьшая пара близнецов – числа 3 и 5. Между 1 и 10 000 есть 205 пар близнецов, последние – числа 9929 и 9931.

Надо признать, что это неизвестно до сих пор.

Вот другой вопрос. Принято считать, что впервые его поставил немецкий математик Кристиан Гольдбах (1690–1764). Ему стало любопытно: какие четные числа (кроме 2) можно представить в качестве суммы двух простых? Вот пример:

Но на самом деле мы до сих пор не знаем этого наверняка.

Применение простых чисел в криптографии

Изучение простых чисел относится к области математики под названием теория чисел. Британский математик Годфри Харди говорил: «До сих пор никто не обнаружил, как применить теорию чисел в военных целях».

Харди не мог предвидеть появления глобальной компьютерной сети и того факта, что безопасность в сети будет зависеть от простых чисел. Каким образом?

Пусть P и Q – два больших простых числа, скажем стозначных. Перемножить их – титанический труд для человека, но компьютер может посчитать произведение N = P × Q мгновенно. В то же время мы угодим в тупик, если попытаемся выяснить, какие два простых множителя дают N при умножении. Никто не знает эффективного алгоритма разложения таких огромных чисел на простые множители[25].

(Как это ни странно, определить, простое число или составное, можно достаточно быстро; однако найти простые множители больших чисел совсем не просто.)

Удивительно, однако эта диспропорция – легко перемножить, сложно разложить на множители – легла в основу создания шифров. Криптографическая система с открытым ключом[26] устроена так, что можно раскрыть метод шифровки сообщений, но это не облегчит расшифровку засекреченных текстов. Мы не станем сейчас погружаться в детали метода, но основная идея состоит в том, что в процессе шифрования используется составное число N, представляющее собой произведение двух огромных простых чисел: N = P × Q. Расшифровка требует знания конкретных простых чисел P и Q. Если мы знаем N, этого достаточно для шифровки, но не для декодирования, а найти его простые множители все еще чрезвычайно сложно.