Иная проблема возникает, когда безразличие не может стать транзитивным. Мне может быть безразлично, предпочесть А или В либо В или С, потому что различия в каждой паре слишком незаметны, но я могу остановить выбор на С, а не на А, так как разница между ними существенна. Есть вариант, который является наилучшим, а именно С, но агента все еще можно склонить к худшему выбору, сделав ему серию предложений (обменять С на В и В на А), от которых у него нет причин отказываться и которые он, соответственно, может принять. Применение к агенту с нетранзитивными предпочтениями определения иррациональный оправдывает не столько отсутствие наилучшего варианта, сколько тот факт, что он может принять предложения, которые ухудшат его положение.

Чтобы удостовериться в неизменной осмысленности идеи наилучшего выбора, можно также потребовать, чтобы предпочтения были полными (complete): для любых двух результатов агент должен иметь возможность определиться, предпочитает он первый или второй вариант, второй или первый либо они оба ему безразличны. Если он не в состоянии ответить ни на один из этих вопросов, он, возможно, не в состоянии определить, какой вариант является наилучшим. Я подробнее остановлюсь на неполноте в конце главы. Здесь я хочу отметить, что, в отличие от отсутствия транзитивности, отсутствие полноты не означает неудачу. Предположим, я хочу дать мороженое одному из двух детей, который получит от него наибольшее удовольствие. Чтобы сформировать мое предпочтение, мне нужно иметь возможность сравнить их уровни удовлетворенности, когда они получат мороженое. Однако часто это невыполнимая задача. Моя неспособность сделать это не является неудачей в том смысле, что я мог бы поступить правильнее, но просто отражает житейский факт.

Во многих случаях транзитивность и полнота предпочтений – это все, что нам требуется, чтобы определить рациональный выбор. Однако иногда удобно представить предпочтения численно, что часто называют значениями полезности (utility values), присваиваемыми вариантам выбора. Чтобы обеспечить такую возможность, мы налагаем на предпочтение еще одно условие – непрерывность (continuity). Если каждый вариант в последовательности А1, А2, А3, … предпочтительнее, чем В, а последовательность стремится к А, тогда А предпочтительнее, чем В. Если В предпочтительнее, чем любой вариант в последовательности, В предпочтительнее, чем А. Контрпримером может послужить лексико-графическое предпочтение: набор из благ А и В в количествах (А1, В1) предпочтительнее другого набора (А2, В2), тогда, и только тогда, когда либо A1 > A2 либо (A1 = A2 и B1 > B2). В таком ранжировании предпочтений наборы (1,1; 1), (1,01; 1), (1,001; 1) …, предпочтительнее (1; 2), который предпочтительнее (1; 1). Можно сказать, что первый компонент набора благ несравнимо важнее второго, потому что никакое дополнительное количество блага В не может компенсировать малейшую потерю блага А[165]. Проще говоря, компромисс невозможен. Таким образом, эти предпочтения не могут быть представлены кривыми безразличия. Если лексико-графические предпочтения редко применимы к обычным потребительским благам, они могут иметь значение при политическом выборе. Избиратель может предпочесть кандидата А кандидату В, потому что у первого более четкая позиция по вопросу о запрете абортов либо если у них одинаковая позиция по этому вопросу и А предлагает более низкие налоги, чем В. Для таких избирателей мирская ценность денег ничто в сравнении со священным даром жизни.

Если предпочтения агента полные, транзитивные и последовательные, мы можем представить их функцией непрерывной полезности u, которая присваивает число u (А) каждому варианту (А). Вме с то того что бы говорить, что рациональный агент выбирает наилучший осуществимый вариант, мы можем сказать, что агент максимизирует полезность. В данной фразе полезность – всего лишь условное обозначение для предпочтений с определенными свойствами. Чтобы это понять, можно отметить, что единственное требование для функции u, чтобы она могла представить порядок предпочтений, заключается в том, что А предпочтительнее В тогда, и только тогда, когда u (А) > u (B). Если u всегда положительно е, v = u2 также может представить тот же порядок предпочтений, хотя v присваивает бо́льшие или (для < 1) меньшие значения, чем u. Абсолютные числа значения не имеют, только их относительные или порядковые (ordinal) величины. Таким образом, идея максимизации полезности не предполагает, что агент занят добычей максимально возможного количества некоего психического вещества. Она, однако, исключает такие иерархии ценностей, которые воплощены в лексико-графических предпочтениях. Они не могут быть представлены функцией полезности.

Часто агенты сталкиваются с рискованными альтернативами, то есть с выбором, который при известных вероятностях может иметь более одного возможного варианта исхода. Может показаться, что рациональный агент выберет вариант с наибольшей ожидаемой полезностью, включающей как выигрыш от каждого исхода, так и вероятность его выпадения. Сначала для каждого варианта агент проведет оценку полезности каждого следствия с точки зрения его вероятности, суммирует все результаты, а затем выберет вариант с максимальной суммой.

Однако порядковая полезность не позволяет нам разъяснить эту идею. Предположим, есть два варианта – А и В. А может произвести результат О1 или О2 с вероятностью ½ и ½, тогда как В может дать результат О3 или О4 с вероятностями ½ и ½. Возьмем теперь функцию полезности u, которая присваивает значения 3, 4, 1 и 5 для соответственно О1, О2, О3, О4. Ожидаемая порядковая полезность для А составляет 3,5, а для В – 3. Если мы вместо этого будем использовать функцию v = u², значения будут составлять 12,5 и 13. И та и другая функции представляют предпочтения, но они выделяют в качестве наилучших разные варианты. Ясно, что такой подход бесполезен.

Можно добиться лучшего результата, но с некоторыми концептуальными издержками. Подход, который связывают с именами Джона фон Неймана (John von Neumann) и Оскара Моргенштерна (Oskar Morgenstern), показывает, что вариантам можно присваивать значения полезности, которые имеют количественное (или кардинальное), а не только порядковое (или ординальное) значение. Примером присваивания количественных значений может служить температура. Меряем мы температуру в градусах по Цельсию или по Фаренгейту, это не влияет на истинность высказывания «Средняя температура в Париже выше, чем средняя температура в Нью-Йорке» (если бы температура измерялась порядковым образом, высказывание не имело бы смысла). Истинность же высказывания «В Париже в два раза жарче, чем в Нью-Йорке», напротив, зависит от выбора шкалы измерения. Однако хотя истинность конкретных высказываний об интенсивностях зависит от шкалы измерения, для других высказываний это не так. Истинность высказывания «Разница температур между Нью-Йорком и Парижем больше, чем между Парижем и Осло», например, не зависит от выборы системы измерения. Сходным образом мы можем сконструировать количественные меры полезности, которые отражают (помимо прочего, как мы увидим) интенсивность предпочтений, а не только порядковое ранжирование вариантов. Они дают нам возможность сравнить выигрыш (или проигрыш) в полезности при переходе от х к (х+1) и от (х+1) к (х+2), то есть позволяют говорить о возрастающей или снижающейся предельной полезности (marginal utility), лишенных смысла при измерении порядковой полезности.