Условная вероятность p (а|b) равна вероятности получения а и b, поделенной на вероятность b. Это вытекает из интуитивного предположения, что p (a&b) равна p (b), у множенной на p (а|b). Разделив обе части этого уравнения на р (b), мы получаем уравнение (*).

Снова используя уравнение (*), поменяв местами a и b, мы имеем p (b|a) = p (a&b) / p (a), что равнозначно p (a&b) = p (b|a) p (a).

Подставляя последнее выражение в (*), мы получаем p (a|b) = p (b|a) p (a) / p (b). (**)

Есть два способа, которым может произойти b (хороший исход) с компетентным или некомпетентным премьер-министром. Вероятность того, что случится одно из двух взаимоисключающих событий, является суммой вероятностей каждого события. Мы, таким образом, можем записать p (b) = p (b&a) + p (b&не-а), которое, согласно рассуждению в абзаце, следующим за (*), равнозначно p (b|a) p (a) + p (b|не-а) p (не-а).

Если мы подставим это выражение для p (b) в (**), получим теорему Байеса p (a|b) = p (b|a) p (a) / [p (b|a) p (a) + p (b|не-а) p (не-а)].

Замещение числовых вероятностей в правой части этого уравнения показывает, что p (a|b) = 80 %, то есть наблюдение успешного исхода повышает вероятность того, что премьер-министр компетентен, с 60 до 80 %. Наблюдение второго и третьего положительного исхода поднимут его до 91 и 97 %[170]. Если, по первоначальным оценкам другого человека, р (а) = 0,3, а не 0,6, три последующих позитивных наблюдения поднимут его оценку сначала до 0,53, потом до 0,75 и, наконец, до 0,89. Таким образом, возможно, что не имеет значения, надежными или ненадежными были первоначальные предположения, поскольку по мере поступления новой информации откорректированные убеждения становятся все более достоверными. Со временем первоначальная разница во мнениях может быть нивелирована новыми данными[171]. Заметим (глава XXIII), что каждый новый фрагмент информации оказывает меньшее воздействие, чем предыдущий.

Третий компонент рационального действия – оптимальное инвестирование ресурсов (таких как время или деньги) в добывание новой информации. Как показано на рис. XI.1, есть несколько детерминант этого оптимума. Во-первых, какое количество информации рационально получить, зависит от желаний агента[172]. Например, агент, который не слишком заботится о наградах в отдаленном будущем, не будет много вкладывать в определение срока службы товара длительного пользования. Очевидно, что имеет смысл собирать больше информации при принятии важного решения, например при покупке дома, чем при выборе между двумя бутылками одинаково дорогого вина. В последнем случае можно просто подбросить монету, если предполагаемые издержки на определение того, что лучше, превосходят ожидаемую выгоду (основанную на предварительном знании качественного диапазона для вина в данной ценовой категории) от употребления вина более высокого качества.

Желания и предварительные представления совместно определяют выгоды, ожидаемые от новой информации. Иногда можно с высокой точностью сказать, сколько дополнительных человеческих жизней будет спасено благодаря определенному анализу на рак или, переводя все на уровень агента, насколько вероятно, что будет спасена его жизнь. Ценность жизни зависит от того, как ее обменивают на другие желаемые цели. Согласно одному расчету, для того чтобы подвигнуть человека, занятого на опасной работе (например, при добыче угля), принять один шанс гибели от несчастного случая из тысячи на протяжении года, потребуется премия около 200 долларов в год. Таким образом, в тот момент, когда был проведен этот расчет, ценность жизни составляла около 200 тысяч долларов[173]. Предполагаемые издержки на получение новой информации, определяемые предшествующими убеждениями, также иногда могут быть определены. Для того чтобы диагностировать рак прямой кишки, принято проводить шесть недорогих анализов кала. Выгоды от первых двух анализов велики. Однако для каждого из четырех последних анализов издержки на определение (даже не на лечение) дополнительных случаев рака, как выяснилось, составляют соответственно 49 150, 469 534, 4 724 695 и 47 107 214 долларов.