Правило 2: От нуля до единицы – вот и все!

Тут все предельно просто. Вероятность может быть только от 0 до 100 %, то есть от 0 до 1 (смотри правило 1), не больше и не меньше. Мы можем сказать, что что-то случится с вероятностью 10 %, но вероятности –10 % или 110 % не существует. 0 % вероятности события означает, что это событие точно не произойдет, 100 % – что определенно случится. Все это может показаться очевидным, но именно такие очевидные вещи были основной проблемой подсчетов шевалье. Давайте посмотрим на его первую игру. Он был уверен в том, что, бросая одну кость четыре раза, он имел шанс, равный 4 × (1/6), или 4/6, или 0,66, или 66 %, на то, что выпадет шестерка. А если бы он бросал кость семь раз? Тогда у него получилась бы вероятность, равная 7 × (1/6), или 7/6, или 1,17, или 117 %! А такого определенно не могло быть – если вы бросаете кость семь раз, вероятно, что шестерка все-таки выпадет один раз, но вы не можете быть в этом уверены (на самом деле, шанс равен приблизительно 72 %). Если при расчете вероятности у вас получается число больше, чем 100 % (или меньше, чем 0 %), можете быть уверены: вы что-то сделали не так.

Правило 3: «Искомое значение», разделенное на «возможные результаты», равняется вероятности

Первые два правила описывают лишь основы, но теперь пришло время поговорить о том, чем на самом деле является вероятность, – и в этом нет ничего сложного. Вы просто берете количество «желаемых» результатов и делите его на количество возможных результатов (при условии, что результаты равновозможные), и вот у вас уже есть вероятность. Каков шанс выпадения шестерки, когда вы бросаете кость? Так, у нас есть шесть возможных результатов и один желаемый, значит, шанс получить шестерку равен 1/6, или около 17 %. Какой шанс, что выпадет парное число, когда вы бросаете кость? На кубике 3 парных числа, а это значит, что ответ 3/6, или 50 %. Каков шанс вытащить из колоды «фигурную» карту (валет, дама, король)? В колоде есть 12 фигурных карт, а всего в ней 52 карты, значит, шанс вытянуть фигурную карту равняется 12/52, или 23 %. Если вы понимаете это, вы понимаете основы вероятности.

Правило 4: Перечисляйте!

Если правило 3 такое простое, каким кажется на первый взгляд (а так оно и есть), то почему же тогда вероятность такая сложная? Причина кроется в том, что те два числа, которые нам нужны (число «желаемых» результатов и число ожидаемых результатов), не всегда бывают очевидными. Например, если я спрошу вас, каким будет шанс выпадения по крайней мере двух «орлов» при трех попытках подбрасывания монеты и каким в этом случае будет число «желаемых» результатов? Я бы удивился, если бы вы смогли ответить на этот вопрос, не делая никаких записей. Самый простой способ решить эту задачу – перечислить все возможные результаты.

1. ООО

2. ООР

3. ОРО

4. ОРР

5. РОО

6. РОР

7. РРО

8. РРР

Как видим, у нас есть восемь возможных результатов. В каких из них «орел» выпадает по крайней мере дважды? 1, 2, 3 и 5. Это четыре результата из восьми возможных, то есть ответ – 4/8, или 50 %. Но почему тогда у шевалье не получилось сделать то же со своими играми? В первой игре он бросал кость четыре раза, что означает 6 × 6 × 6 × 6, или 1296 возможных вариантов. Перечислить все возможные результаты – довольно скучное занятие, но, если взяться за него, можно управиться примерно за час (список выглядел бы примерно так: 1111, 1113, 1114, 1115, 1116, 1121, 1122, 1123 и т. д.), плюс еще пара минут на то, чтобы посчитать количество комбинаций, содержащих шестерки (671). И в конце разделить это количество на 1296, чтобы получить ответ на свой вопрос. Подобный подсчет поможет вам решить любую проблему, связанную с вероятностью, если у вас, конечно, есть на это время. А теперь давайте взглянем на вторую игру, где шевалье бросал две кости 24 раза. Для двух костей существуют 36 возможных результатов, то есть, посчитав количество результатов при 24 бросках, нам нужно будет записать количество комбинаций, равное 36 в 24-й степени (число, состоящее из 37 цифр). Даже если шевалье смог бы писать по одной комбинации в секунду, составление такого списка заняло бы больше времени, чем возраст самой Вселенной. Перечисление может быть очень удобным подходом, но, если оно занимает чересчур много времени, нужно искать иные пути – именно для этого нужны следующие правила.

Правило 5: В некоторых случаях «или» означает сложение

Очень часто нам нужно определить шанс «того ИЛИ иного» события, например какой шанс вытащить из колоды фигурную карту ИЛИ туз? Когда два события, о которых мы говорим, являются взаимоисключающими, иными словами, когда они оба не могут произойти одновременно, вы можете сложить их индивидуальные вероятности, чтобы получить общую вероятность. Например, шанс вытянуть фигурную карту составляет 12/52, а шанс вытянуть туз – 4/52. Поскольку эти события взаимоисключающие (они не могут произойти одновременно), мы можем их суммировать: 12/52 + 4/52 = 16/52, или около 31 % вероятности.

Но что, если задать другой вопрос: каковы шансы вытащить из колоды туз или бубну? Если суммировать эти вероятности, мы получаем 4/52 + 13/52 (13 бубновых карт в колоде) = 17/52. Но если мы перечислим результаты, то увидим, что это неправильный ответ; правильный ответ – 16/52. Почему? Потому что эти два случая не являются взаимоисключающими – я могу вытащить бубновый туз! Поскольку этот случай не взаимоисключающий, «или» не означает сложение.

Давайте посмотрим на первую игру шевалье. Кажется, что он использует это правило для своих костей – сложение вероятностей: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6. Но он получает неправильный ответ, потому как эти четыре события не взаимоисключающие. Правило сложения весьма полезное, но только если вы уверены в том, что события являются взаимоисключающими.

Правило 6: В некоторых случаях «и» означает умножение

Это правило практически противоположно предыдущему! Если мы хотим знать, чему равняется вероятность двух происходящих одновременно событий, для получения ответа мы можем умножить их вероятности – но только если эти два события НЕ взаимоисключающие! Возьмем две игральные кости. Если мы хотим узнать вероятность выпадения двух шестерок, нам нужно умножить вероятность двух событий: шанс получить 6 на одной кости равняется 1/6, а также шанс получить 6 на второй кости, который тоже равняется 1/6. Выходит, что шанс выпадения двух шестерок – 1/6 × 1/6 = 1/36. Вы могли бы одинаково успешно прийти к этому выводу путем перечисления, но это отняло бы у вас намного больше времени. В правиле 5 мы пытались узнать вероятность вытянуть туз ИЛИ бубну из колоды – правило не подействовало, потому что эти события не были взаимоисключающими. Теперь давайте попробуем узнать вероятность вытащить туза И любую карту бубновой масти. Иными словами, какая вероятность вытащить бубнового туза? Интуитивно мы понимаем, что этот шанс равен 1/52, но мы можем проверить это при помощи правила 6, поскольку знаем, что оба события не являются взаимоисключающими. Шанс вытащить туза равняется 4/52, а шанс вытащить бубну – 13/52. Умножим их: 4/52 × 13/52 = 52/2704 = 1/52. То есть правило работает и соответствует нашим умозаключениям.