номинальной оценке ускоренно, со средним ускорением: 2*2,625 = 5,25 млрд. дол, в год за год, средний за весь период прирост объема экспорта составил 25,1 млрд. дол. в год, средний уровень экспорта на середину периода был равен 321,7 млрд. дол.

Если бы параболический тренд вычислялся на ЭВМ по программе, предусматривающей нумерацию лет от начала с номера t = 1, то уравнение имело бы вид:

y^i = 261,9 + 1,47ti + 2,62ti2,

где ti = 0 в 1987 г.

5.3.3. Гиперболическое уравнение тренда

Уравнение имеет вид:

y^i = a + b/ti

т. е. отличается от линейного уравнения тем, что вместо ti первой степени включает номера периодов времени (моментов) в минус первой степени:

1/ti

Соответственно нормальные уравнения метода наименьших квадратов получат вид:

Однако при этом нельзя, в отличие от линейного тренда, переносить начало отсчета периодов времени в середину, так как гипербола не имеет постоянного параметра изменения уровней на протяжении всего периода, и все величины 1/ti должны быть положительными.

Рассмотрим расчет гиперболического уравнения тренда (табл. 5.5) по данным рис. 4.4 — динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии на электростанциях региона (г. на 1 кВт-ч).

Нормальные уравнения МНК:

7а + 2,593b = 2555,

2,593а + 1,511b = 1041.

Решая систему уравнений, получаем:

a = 301,3; b = 171,9.

Уравнение гиперболического тренда удельного расхода топлива имеет вид:

y^i = 301,3 + (171,9/ti)

где ti = 0 в 1965 г.

Величина удельного расхода 301,3 — это предел, к которому стремится экономия топлива при данной технологии тепловых электростанций региона. Существенного резерва экономии уже нет.

5.4. Оценка параметров экспоненциального, логарифмического и логистического уравнений тренда

Данные типы трендов объединены в одну группу в связи с необходимостью при оценке их параметров прибегать к логарифмированию. При расчете логарифмического уравнения тренда логарифмируют номера периодов (моментов) времени, а при расчете параметров экспоненциального и логистического трендов — сами уровни. Поскольку отрицательные числа не имеют действительных логарифмов, если нужно логарифмировать номера периодов времени, то нельзя переносить начало их отсчета в середину ряда. Если же сами уровни могут принимать отрицательные значения, например, уровни финансового результата от реализации, уровни температуры воздуха или почвы, то необходимо перенести начало отсчета уровней на величину, алгебраически меньшую реального наименьшего уровня. Например, температуру следует выразить не в градусах Цельсия, а в Кельвинах, финансовый результат при наибольшем убытке 83 млн. руб., отсчитывать от -100 млн. руб., чтобы наинизший уровень выразился как 17 млн. руб. По окончании расчета тренда нетрудно восстановить обычные единицы измерения. Так, получив тренд финансового результата при отсчете от -100 млн. руб. как

y^i = 27∙1,028Ii

нужно по нему рассчитать все уровни тренда, а затем прибавить к ним величину -100 млн. руб. Начиная с t = 48, уровни тренда станут положительными числами в обычном смысле:

47 < [ln(100:27):ln 1,028] < 48

5.4.1. Экспоненциальное уравнение тренда

Формула уравнения имеет вид:

y^i = a∙kti

Для нахождения параметров а и к уравнение логарифмируем:

ln y^i = ln a + ti∙ln k

В такой форме, т. е. для логарифмов, уравнение соответствует линейному, следовательно, метод наименьших квадратов дает для логарифмов а и к нормальные уравнения, аналогичные таковым для параметров а и Ь линейного тренда (см. табл. 5.2).

Так как номера периодов времени не логарифмируются, можно перенести начало отсчета в середину ряда и упростить систему:

Приведем пример расчета экспоненциального тренда по данным рис. 4.3 (табл. 5.6).

ln a = 49,77/6 = 8,295; a = 4004;

ln k = 3,12/17,5 = 0,1783; k = 1,195;

Уравнение тренда:

y^i = 4004∙1,195ti

где t = 0,5 в 1980 г.

Итак, население Земли в период с 1950 по 2000 г. возрастало со среднегодовым темпом роста, равным корню десятой степени из среднего темпа за десятилетие, найденного по данным табл. 5.6, т. е. 10√1,195 = 1,01797, или 1,8 % прироста в год. Прогнозировать дальнейшую динамику численности населения по рассчитанному тренду не следует, так как уже в десятилетии 1990–2000 гг. темп стал замедляться, и этот процесс, очевидно, будет продолжаться. По данным Венского Международного института прикладного системного анализа, наиболее вероятный вариант роста населения Земли в XXI в. — постепенное замедление роста до полного его прекращения к 2100 г. при уровне населения 11,5 млрд. чел. Крайними и наименее вероятными вариантами к 2100 г. являются: очень слабо замедляющийся рост до 18 млрд. чел. или переход к снижению числа жителей Земли, начиная примерно с середины XXI в., до 5 млрд. чел.

5.4.2. Логарифмическое уравнение тренда

Особенность этого типа тренда заключается в том, что логарифмировать необходимо номера периодов (моментов) времени: у^ = а + b In t. Следовательно, все номера должны быть положительными числами. Однако это вовсе не означает, что нумерацию следует начинать с числа 1. Дело в том, что величина логарифма быстро возрастает при переходе от единицы к двум: натуральный логарифм единицы равен нулю, а логарифм двух равен 0,693, имеем рост на 0,693; в то же время логарифм четырех равен 1,386, а логарифм пяти равен 1,609, имеем прирост лишь на 0,223 и т. д. Если и уровень изучаемого ряда вначале возрастает втрое быстрее, чем между четвертым и пятым периодом, тогда нумерация от единицы допустима. Если же уменьшение прироста уровней происходит значительно медленнее, нумерацию периодов (моментов) следует начинать не с единицы, а с большего числа.

Покажем методику расчета логарифмического уравнения тренда на примере динамики валового сбора чая в Китае (см. рис. 4.5; табл. 5.7).

Временной ряд прежде всего нужно разделить на несколько частей, например на три части, и в каждой части вычислить средний уровень, тыс. т:

1978–1983 гг. — 331,7;

1984–1989 г. — 482,7;

1990–1994 гг. — 566,0.

Эти усредненные уровни относятся соответственно к середине между 1980 и 1981 гг., к середине между 1986 и 1987 гг. и к 1992 г. Если первую дату обозначить годом номер х, то вторая будет годом номер х + 6, а третья — годом номер х + 11,5. Исходя из уравнения логарифмического тренда имеем уравнения:

а + b∙ln x; = 331,7; (5.18)

а + b∙ln (x + 6) = 482,7; (5.19)

а + b∙ln (x + 11,5) = 566. (5.20)

Вычитая (5.18) из (5.19), имеем:

b∙[ln (х + 6) — ln (x)] =151. (5.21)