Коэффициент автокорреляции отклонений имеет формулу

Числитель коэффициента — сумма произведений каждого отклонения на следующее, кроме последнего, в ряду отклонений. В этих произведениях первое отклонение и последнее, т. е. U1 и Un, участвуют только по одному разу, а отклонения от U2 до Un-1 — по два раза. Соответственно в знаменателе в сумму квадратов отклонений от Un-1 до Un входят квадраты с единичным весом, а квадраты первого и последнего отклонений U21 и U2n, — с половинным весом.

Чем ближе коэффициент автокорреляции к -1, тем большую роль играет пилообразная составляющая в общей колеблемости изучаемого временного ряда. При коэффициенте, по алгебраической величине превышающем -0,3, можно считать пилообразную составляющую несущественной или отсутствующей вовсе, если длина ряда не больше 20 уровней.

6.1.2. Долгопериодическая циклическая колеблемость

Характерной чертой этого типа колебаний является наличие нескольких (многих) подряд отклонений одного знака, затем сменяющихся примерно таким же количеством отклонений противоположного знака подряд. Затем весь цикл вновь повторяется, причем, как правило, длина всех циклов одинакова или хотя бы примерно равная. Если равенство отдельных циклов существенно нарушается, говорят о квазициклической колеблемости, т. е. как бы циклической.

Свойства циклической колеблемости (рис. 6.2) таковы: отклонения одного и того же знака следуют подряд в течение примерно половины длины цикла. Следовательно, эти отклонения аккумулируются, и для их компенсации (если таковая требуется) нужен большой страховой запас. Например, надой молока от коров находится ниже тренда в течение 6 месяцев года (с октября до марта включительно) в большинстве сельхозпредприятий Ленинградской области и других регионов России. Следовательно, для удовлетворения спроса на молоко в осенне-зимний период нужен запас в форме сухого молока, масла и других хранящихся молочных продуктов.

Рис. 6.2. Циклическая долгопериодическая колеблемость:

_._ фактические уровни

___ тренд

Для прогнозирования циклическая колеблемость благоприятна, особенно если длина цикла строго постоянна. Прогноз на любой будущий период состоит из прогноза тренда и циклического отклонения от него, соответствующего фазе цикла в прогнозируемый период. Например, зная, что солнечная активность имеет 10-11-летнюю периодичность и что предыдущий цикл имел максимум в 1990–1991 гг., можно уверенно прогнозировать следующий максимум на 2000–2001 гг.

Как правило, за цикл наблюдаются два экстремума отклонений от тренда — один максимум и один минимум. Следовательно, за период, состоящий из N уровней, насчитывается экстремумов:

K = 2∙(N/l) (6.2)

где l — длина цикла.

Причиной циклической колеблемости является какая-либо основная сила, влияющая на уровень изучаемого явления. Иначе говоря, есть главный фактор, вызывающий колебания. Сезонные колебания температуры, осадков, а следовательно, и производства, и потребления многих видов продукции зависят от одного фактора — наклона земной оси к плоскости орбиты Земли. Причина циклической колеблемости солнечной активности пока науке не известна.

Распознать циклическую долгопериодическую колеблемость можно по виду графика, подсчетом числа экстремумов в ряду отклонений от тренда и по коэффициенту автокорреляции отклонений I порядка. Если число локальных экстремумов в ряду отклонений мало, то можно предположить наличие циклической колеблемости. Поскольку отклонения одного и того же знака следуют подряд, их произведения являются положительными числами, а отрицательные произведения встречаются лишь дважды за цикл — при пересечении графиком фактического ряда уровней тренда вниз и вверх. Следовательно, коэффициент автокорреляции при долгопериодической колеблемости — величина положительная, стремящаяся к +1 при l —> оо. При наличии фактического коэффициента больше чем +0,3 можно считать, что в общей колеблемости временного ряда есть существенная циклическая составляющая, а при ιalU > 0,7–0,6 циклическая составляющая является главной.

Для нахождения длины цикла, особенно если цикличность не строгая, а «квази», нужно последовательно вычислить коэффициенты автокорреляции отклонений от тренда разных порядков, т. е. с лагом 1, 2, 3 и т. д. периодов времени. Наибольший по абсолютной величине коэффициент автокорреляции отметит длину цикла.

6.1.3. Случайно распределенная во времени колеблемость

Характерной чертой данного типа колебаний является хаотичность последовательности отклонений: после отрицательного отклонения от тренда может следовать снова отрицательное или даже два-три отрицательных отклонений, а может и положительное (два-три). Это как бы мелкие «куски» пилообразной и циклической колеблемости разных длин цикла, перемешанные друг с другом. Иногда случайно распределенную колеблемость и называют «интерференция колебаний» (термин, заимствованный из физики).

Рис. 6.3. Случайно распределенная во времени колеблемость

_._ фактические уровни

___ тренд

Для колеблемости, изображенной на рис. 6.3, характерны два свойства:

• из-за хаотического чередования знаков отклонений от тренда их взаимопогашение наступает только на достаточно длительном периоде, а на коротких отрезках отклонения могут аккумулироваться, например, могут быть три неурожайных года подряд или два-три высокоурожайных. Значит, необходимы довольно значительные резервы, страховые запасы для гарантии от колебаний;

• случайно распределенная во времени колеблемость неблагоприятна для прогнозирования, ибо в любом прогнозируемом периоде может осуществиться с равной вероятностью как положительное, так и отрицательное отклонение от тренда. (Как увидим в гл. 10. прогнозировать можно лишь интервал, в котором с заданной вероятностью может оказаться уровень.)

Причиной случайно распределенных колебаний служит наличие большого комплекса независимых или слабосвязанных между собой факторов, влияющих на уровни изучаемого явления. Так, колебания урожайности зависят от осадков в разные периоды роста культур, от температуры воздуха и почвы, от силы ветра, от развития вредных насекомых, болезнетворных микроорганизмов, от соблюдения агротехники, от качества семян и еще от многих других факторов. Практика статистических исследований колеблемости урожаев показала, что преобладают именно случайно распределенные колебания. Наличие множества примерно равноправных и независимых факторов означает также, что нельзя существенно уменьшить колеблемость, воздействуя только на какой-либо отдельный фактор. Необходимо, если это возможно, регулировать все основные факторы, как, например, и делается в защищенном грунте (теплицах).

Распознать случайно распределенную во времени колеблемость по виду графика труднее, чем два других типа колебаний. Число локальных экстремумов может также колебаться. В среднем, как доказал английский статистик М. Кендэл [10], их число составляет 2/3 (n — 2) при среднем квадратическом отклонении, равном

√[(16n — 29)/90]

Ряд, изображенный на рис. 6.3, имеет 10 локальных экстремумов (точек перегиба ломаной линии) при 2/3(15 — 2) = 8,7 и среднем квадратичном отклонении, равном

√[(16∙15–29)/90] = 1,53

Как видим, фактическое число экстремумов попадает в интервал х¯± σ, т. е. вероятность того, что распределение отклонений от тренда является случайным, довольно велика, следовательно, эта гипотеза не может быть отклонена.

Коэффициент автокорреляции отклонений от тренда при случайно распределенной колеблемости стремится к нулю при n —> оо. Если ряд состоит менее чем из 19–22 уровней, коэффициенты автокорреляции I порядка, не превышающие 0,3