Как известно, арифметику и более всеобщие наукио дискретной величине по преимуществу называют аналитической наукой и анализом. Способ познания в этих науках и в самом деле наиболее имманентно аналитичен, и мы должны вкратце рассмотреть, в чем заключается основание этого факта. Прочее аналитическое познание начинает с некоторого конкретного материала, содержащего в себе некоторое случайное многообразие; всякое различие содержания и поступательное движение к дальнейшему содержанию зависят от указанного конкретного материала. Напротив, арифметический и алгебраический материал есть нечто уже сделанное совершенно абстрактным и неопределенным, материал, в котором истреблено всякое своеобразие отношения и для которого, стало быть, теперь всякое определение и всякое связывание есть нечто внешнее. Таким материалом является принцип дискретной величины, одно. Эта лишенная всякого отношения атомистическая единица может быть умножена для образования некоторого множества, элементы которого можно внешним образом определить и соединить в некоторую численность; но этот процесс умножения и ограничения есть пустое поступательное движение и процесс определения, не идущий дальше того же самого принципа абстрактного одного. Далее, каким образом соединяются и разъединяются числа, это зависит исключительно только от полагания познающего. Все эти определения делаются вообще внутри категории величины, а она представляет собой ставшую безразличной определенность, так что предмет не обладает никакой такой определенностью, которая была бы ему имманентна и, следовательно, была бы дана познанию. Поскольку познание дало себе первоначально некоторое случайное многообразие чисел, они составляют материал для дальнейшей обработки и многообразных соотношений. Такие соотношения, их нахождение и обработка кажутся, правда, отнюдь не имманентными аналитическому познанию, а чем-то случайным и данным (и в самом деле, эти соотношения и связанные с ними операции излагаются обычно друг за другом как разные, без указания внутренней связи между ними). Однако здесь нетрудно распознать движущий принцип, а именно – имманентный принцип аналитического тождества, которое в разнящемся выступает в виде равенства; движение вперед состоит здесь в сведении неравного к все бо́льшему и бо́льшему равенству. Чтобы иллюстрировать это на примере из первых элементов математики, укажем, что сложение есть сочетание совершенно случайно неравных чисел, умножение же, напротив – равных чисел, а затем еще следует отношение равенства между численностью и единицей, т. е. степенное отношение[100].

Так как определенность предмета и отношений есть положенная определенность, то дальнейшие операции с ними тоже совершенно аналитичны, и в аналитической науке имеются поэтому не столько теоремы, сколько задачи. Аналитическая теорема содержит в себе задачу уже как решенную самоё по себе, и совершенно внешнее различие, присущее тем двум сторонам теоремы, которые в ней приравниваются друг к другу, столь несущественно, что такая теорема должна была бы показаться тривиальным тождеством. Кант, правда, объявил предложение «5 + 7 = 12» синтетическим предложением на том основании, что одно и то же содержание на одной стороне представлено в форме нескольких чисел, в форме 5 и 7, а на другой стороне в форме одного числа, в форме 12[101]. Однако если аналитическое предложение не должно означать совершенно абстрактно тождественное и тавтологическое «12 = 12» и в нем вообще должно быть некоторое движение вперед, то должно быть налицо какое-нибудь различие, но такое различие, которое не основывается ни на каком качестве, ни на какой определенности рефлексии и тем паче ни на какой определенности понятия. «5 + 7» и «12» суть совершенно то же самое содержание; в первой стороне равенства выражено также и требование, чтобы 5 и 7 были сочетаны в одном выражении; а это означает, что, подобно тому как 5 есть нечто сосчитанное, причем прекращение счета на этом числе было совершенно произвольным и счет мог бы с таким же успехом быть продолжен и дальше, так теперь следует считать дальше с условием, чтобы число долженствующих быть прибавленными единиц равнялось 7. «12» есть, следовательно, результат 5 и 7 и такого действия, которое здесь уже положено и по своей природе тоже есть некоторое совершенно внешнее, чуждое мысли дело, так что этот результат может поэтому быть осуществлен также и машиной. Здесь нет ни малейшего перехода к некоторому другому; это просто процесс продолжения, т. е. повторения того же самого действия, через которое произошли 5 и 7.

Доказательство такой теоремы – она требовала бы доказательства, если бы она была синтетическим предложением, – состояло бы лишь в операции определенного 7-ю дальнейшего сосчитывают начиная с 5-ти и в познании совпадения результата этого дальнейшего счета с тем, что и в других случаях называется 12-ю и что, в свою очередь, есть не что иное, как именно само это определенное дальнейшее сосчитывание. Поэтому вместо формы теоремы сразу же берут форму задачи, требования действия, а именно, высказывается лишь одна сторона того уравнения, которое составило бы теорему, другая же сторона этого уравнения должна быть найдена путем решения этой задачи. Задача заключает в себе содержание и указывает то определенное действие, которое должно быть произведено над ним. Действие не ограничено каким-либо неподатливым, наделенным специфическими отношениями материалом, а представляет собой внешнюю субъективную операцию, и материал безразлично принимает те определения, которые в нем полагаются этим действием. Вся разница между поставленными в задаче условиями и полученным в решении результатом состоит лишь в том, что в последнем действительно произведено соединение или разъединение тем определенным образом, как было указано в задаче.

Применение здесь формы геометрического метода, относящегося к синтетическим предложениям, и присоединение вслед за решением задачи также и доказательства представляют собой поэтому совершенно излишнее сооружение. Это доказательство не может выразить ничего другого, кроме той тавтологии, что решение правильно, потому что действие произведено так, как было задано. Если задача требует сложить несколько чисел, то решение состоит в том, что их действительно складывают; доказательство же показывает, что решение правильно, потому что было задано сложить и было произведено сложение. Если задача заключает в себе более сложные определения и действия, скажем, например, перемножить десятичные числа[102], а решение не указывает ничего, кроме механического приема, то в этом случае действительно требуется доказательство; но это доказательство не может состоять ни в чем другом, как только в анализе тех определений и действий, из которых решение получается само собой. В силу этого отделения решения, как некоторого механического приема, от доказательства, как припоминания природы подлежащего действию предмета и самого действия, как раз утрачивается преимущество аналитической задачи, заключающееся в том, что построение непосредственно выводится из задачи и потому само по себе может быть изложено как понятное для рассудка, между тем как, действуя иначе, мы ясно выраженным образом сообщаем построению недостаток, свойственный синтетическому методу. В высшем анализе, где, главным образом в связи со степенным отношением, появляются качественные и зависящие от понятийных определенностей отношения дискретных величин, задачи и теоремы действительно содержат в себе синтетические определения; там приходится брать в качестве средних членов другие определения и отношения, чем те, которые непосредственно указаны задачей или теоремой. Однако и эти вспомогательные определения непременно должны быть такого рода, чтобы они имели свое основание в том, что здесь принимается в соображение и развивается одна из сторон задачи или теоремы; то обстоятельство, что они выглядят синтетическими, происходит исключительно оттого, что задача или теорема сама не называет наперед этой стороны. Задача, например, найти сумму степеней корней уравнения решается посредством рассмотрения и затем соединения функций, представляющих собой коэффициенты уравнения корней. Взятое здесь в помощь определение функций коэффициентов и соединения этих функций не выражено наперед в задаче, но во всем прочем само развертывание совершенно аналитично. Подобным же образом решение уравнения X m – 1 = 0 с помощью синусов, а также имманентное, как известно, найденное Гауссом[103] алгебраическое решение при помощи рассмотрения остатка от делениях X m-1 – 1 = 0 на m и так называемых первообразных корней – одно из важнейших расширений анализа Новейшего времени – есть синтетическое решение, так как использованные тут вспомогательные определения (синусы или рассмотрение остатков) не являются определениями самой задачи.