наречены глаголы. См. кн. I, гл. 9, §1, и примечание к этому месту. Вообще звук в древности считался совокупностью следующих друг за другом «толчков» воздуха, при этом предполагалось, что, чем звук выше, тем он распространяется быстрее. Например, так полагал Архит (Porph., In Ptolem. Harm., 56During).

526

Созвучия. Они делятся на консонансы (созвучия в узком смысле) и диссонансы (диафонии). Явление консонанса проще всего пояснить с помощью струны. Дело в том, что при звучании струн, кроме основного тона, соответствующего их длинам, всегда имеются более высокие и постепенно уменьшающиеся по амплитуде тоны, кратные двум, трем и т. д. основным тонам (их называют обертонами). Причем звучание основного тона с обертонами именуется тембром. Для примера рассмотрим две струны, основные частоты которых 200 Гц и 400 Гц, то есть их отношение составляет октаву. Предположим, что вместе с основными звучат еще пять обертонов. Это значит, что первая струна будет издавать звуки на частотах 200, 400, 600, 800, 1000, 1200 Гц, а вторая — 400, 800, 1200, 1600, 2000, 2400 Гц. Видно, что при их совместном звучании есть три совпадающих тона — 400, 800 и 1200 Гц. Это звучит приятно и согласованно. Предположим, что вторая струна была расстроена и ее основной тон составляет 410 Гц. Это значит, что она будет издавать звуки на частотах 410, 820, 1230, 1640, 2050 и 2460 Гц. При одновременном звучании с первой струной появятся близкие тона 400 и 410 Гц,800 и 820 Гц, 1200 и 1230 Гц. Как это будет звучать? Плохо, и вот почему. Звук есть гармоническое продольное колебание воздуха, и описывается формулой s(t) =Asin ωt. Следовательно, сумма двух колебаний s1, и s2 с одной амплитудой будет иметь вид

s(t) = s1(t)+s2(t) =Asinω1t+Asinω2t=2Asin (ω1+ω2)/2 t cos (ω1+ω2)/2t.

При ω1 ≈ ω2 это будет похоже на один звук с частотой (ω1+ω2)/2, который будет иметь периодично — с частотой (ω1–ω2)/2 — изменяющуюся амплитуду. Такие колебания называются биениями, а (ω1–ω2)/2 — частотой биения. Слышится это как своеобразное завывание, которое особенно нестерпимо при частоте биения 33 Гц и исчезает примерно при 130 Гц. Так возникает диссонанс. Древние, конечно, не знали этой теории, но они прекрасно слышали диссонансы и экспериментально искали и находили такие интервалы тонов, которые давали наилучшие консонансы. Диатоническая гамма — первая и простейшая из таких находок.

527

Μέλος — греч., напев, мелодия. Мед по-гречески звучит примерно также — μέλι.

528

Диез. У пифагорейцев (Филолая) диезом назывался меньший полутон, так как большой полный тон, то есть разница квинты и кварты (3/2:4/3=9/8), делился на меньший полутон (256/243) и больший полутон, апатомэ, (2187/2048). Причем это разделение было обусловлено тем, что один тон не делится на два равных полутона (невозможно найти рациональное число, квадрат которого давал бы 9/8). Зато оно удобно тем, что диез является интервалом, на который кварта превосходит два тона (4/3:(9/8х9/8)=256/243), а квинта — три тона (3/2:(9/8х9/8х9/8)=256/243). Обычно диез вычитали из тона, а апотомэ прибавляли к нему. Поскольку очевидно, что октава состоит из квинты и кварты: 2/1=3/2х4/3 или кварты, тона и кварты: 2/1–4/3х9/8х4/3 (что соответствовало реальной игре на двух соединенных тетрахордах, настроенных на кварты), то это и позволяло создать дорийскую (мажорную) гамму диатонического наклонения из двух тонов, меньшего полутона, трех тонов и меньшего полутона, начиная с ми первой октавы и далее по нисходящей. Затем, во времена Боэция диез равнялся просто четверти тона (Boet., Inst, mus., I, 21). Впоследствии диезом стали называть повышение звука на полтона. Заметим, что и в этом, и в предыдущем определении Исидор интервалом (spatium) называет соотношение частот, а не отрезок времени. Того же словоупотребления придерживались и многие из древних, как, например, Дионисий Галикарнасский и Архит в трактате «О музыке». Наконец, необходимо коротко рассказать о соотношении пифагорейской октавы и современной. Октава как музыкальный интервал осталась неизменной, изменился лишь принцип построения интервалов внутри нее. Поскольку октава получается при делении струны пополам, то повышение тона ровно в два раза становится как бы само собой очевидным. А вот как поделить это расстояние? Пифагор поделил его на пропорциональные отрезки. В пределах одной октавы такое слушается вполне приемлемо, однако проблемы начинаются при выходе за пределы этого диапазона. Если продолжать откладывать столь же равные отрезки за границей октавы наверх, например, мы придем к следующей октаве гораздо быстрее, ибо если даже посмотреть на струну, видно, что следующая октава получается при делении настоящей пополам, то есть расстояние между основными тонами в два раза меньше. А продолжая откладывать одинаковые отрезки, мы будем сначала попадать между полутонами, а потом с удивлением обнаружим, что уже перешли границу новой октавы, а тонов прошли отнюдь не семь, а меньше. Эта истина дошла до сознания народа где-то веке в XV, наверное, и тогда было предложено практически современное деление, а именно: частота каждого следующего звука (полутона) получается домножением частоты предыдущего на корень 12-й степени из двух, что отличается от пифагорейских значений меньшего полутона и тона в третьем знаке после запятой. Тогда октава по-прежнему получается из тонов, отличающихся по частоте в 2 раза, а промежуточные интервалы получаются более логичными и, что самое главное, более благозвучными. Более того, отсчитав 8 ступеней-нот (12 полутонов) от любого промежуточного тона, мы получим именно октаву, а не неизвестно что. Проблемы возникли только с интервалами терция и секста. Здесь уже дело не в математике, а в восприятии человеческим ухом биений, получающихся при сложении колебаний. Дело в том, что если построить благозвучную большую терцию от, например, ноты до (это получится, в современной нотации, ми), а затем построить благозвучную большую терцию от получившегося тона (в нашем примере: ми — соль-диез), то получившийся тон будет отнюдь не соль-диезом, и не ля, и не соль, а чем-то посередине. Кстати, индусы заметили это очень давно, и в их гамме используются не полутоны, а четверти тона. Посему инструменты настраивали по-разному (это, разумеется, не относится к инструментам типа скрипки, где музыкант может извлечь любой мыслимый интервал, который подчас невозможно записать нотами) пока не был разработан Хорошо Темперированный Клавир, коему И.-С. Бах посвятил два альбома прелюдий и фуг. С той поры музыкальный строй придерживается описанного принципа и нет причин, по которым следовало бы