числах уравнения X2+Y2 = Z2. Дело в том, что переход от одного квадратного числа к другому осуществлялся с помощью гномона — наращения в виде уголка чисел-псефов с двух сторон квадрата. Например, нижеследующее квадратное число получено с помощью пяти гномонов:

Ставится задача: если гномон — квадратное число, то какому правилу должно отвечать квадратное число, полученное с его помощью, ведь тогда получится, что квадратное число плюс квадратное число дает квадратное число. Легко заметить, что, если Х — квадратный гномон, то предыдущее квадратное число — (X2–1)/2, а последующее — (X2+1)/2 (поскольку гномон всегда равен 2Y+1, где Y — сторона предыдущего квадрата), где X — нечетное число. Правда, такое решение является частным случаем общей формулы Пифагоровых троек, так как в нем есть дополнительное условие: Z=Y+1, то есть чтобы катет и гипотенуза были бы двумя соседними квадратными числами. Общее решение см., например, в «Началах» Евклида, кн. X, предл. 29, или в «Арифметике» Диофанта, кн. II, задача 8 (та самая, к которой П. Ферма сделал свое знаменитое замечание на полях).

486

Циклические и сферические числа (см. ниже) имеют не столько геометрическую, сколько арифметическую интерпретацию: это степени чисел 5 и 6, которые, как известно, кончаются всегда также на 5 и 6, то есть «возвращаются к себе», говоря словами Кассиодора и Исидора, — и в этом смысле они подобны кругам. Иначе говоря, циклическое число — такое, квадрат которого оканчивается на те же цифры, из которых состоит оно само (например, 25 и 25x25=625), а сферическое число — такое, квадрат и куб которого оканчивается на те же цифры, из которых состоит оно само (например, 6, 6x6=36 и 6x6x6=216).

487

Пирамида — поднимающееся пламя. Имеется в виду греческая этимология слова «пирамида» от πυ̂ρ (огонь, пламя).

488

Глава 8. О различии арифметики, геометрии и музыки. Название главы крайне неудачно: ее следовало бы озаглавить «О различии среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического», ибо речь пойдет именно об этих трех средних. Кстати, все три пропорции, по вполне достоверному преданию, были известны опять-таки самому Пифагору, причем Ямвлих приписывает ему также изобретение «музыкальной пропорции» (см. ниже). Наш автор ничего не пишет о знаменитом неравенстве средних: ch ≤ cg ≤ cm, хотя оно было хорошо известно древним, так как очевидно вытекало из геометрического построения всех трех средних величин (см., например в «Математическом собрании» Паппа Александрийского).

489

В арифметике среднее ты ищешь так. Речь о среднем арифметическом двух чисел а и b — числе cm = (а+b)/2. Обобщенно — средним арифметическим n положительных чисел a1, a2, …, an называется число cm = (a1+a2+…+an)/n. Оно потому называется арифметическим, что если не искать среднего между четным и нечетным числом (чего делать не рекомендовалось), такая операция не выводит за пределы множества натуральных чисел (объекта арифметики).

490

При помощи же геометрии так ищешь среднее. Среднее геометрическое двух чисел а и b — это число cg = √ab. В общем случае — средним геометрическим n положительных чисел a1, a2, …, an называется число ck = n√a1a2…an. Для 6 и 9 среднее геометрическое — иррациональное число √72 = 8,4853... Исидор знает иррациональные числа только как геометрические фигуры (см. главу 11, §3), поэтому средних геометрических у него не одно, а два. То есть ищутся два наиболее близких по величине делителя числа ab: в данном случае 8 и 9. Два средних геометрических — это результат позднейшей арифметизации математики. Во времена Евклида среднее геометрическое было одним числом, представляемым в виде отрезка на специальном чертеже.

491

Исидор пишет: «quot media duplicata» — «дважды умноженные средние»

492

При помощи музыки так... Среднее гармоническое двух чисел а и b — это число ch = 2ab/(a+b). В общем случае — средним гармоническим n положительных чисел a1, a2, …, an называется число ch =n/(1/a1+1/a2+…+1/an). Исидор определяет среднее гармоническое через пропорцию: (ch–a):a=(b–ch):b. Пример Исидора также звучит темно: «Utputa VI et VIII; duabus partibus superant, quae duae partes tertia media, octo, superatur ab ultima попа». Мы предлагаем такую реконструкцию: 4...quae duae partes [duodenarii sunt] tertia media, [id est] octo, [quae (media)] superatur ab ultima попа», полагая, что под «третьим средним» имеется в виду среднее гармоническое, третье после арифметического и геометрического. Кроме того, девятка могла возникнуть еще и в связи с «музыкальной пропорцией»: a:ch = cm:b, то есть 6:8=9:12. Вычисления здесь могли быть такими: 8–6=2=6x2/6; 12–9=3=9х2/6. Если бы в конце стояло не 9, а 12, то перевод был бы проще: «[восемь] превосходит [шесть] на две [шестых] части, и на эти же две [шестых] части [от 12], треть, восьмерка превосходится крайними 12-ю. (См. также гл. 23.)

493

Сложно сказать, кому из математиков первому пришла в голову эта мысль (Архимед приписывает ее Евдоксу), но ее блестящее изложение читатель может найти в «Псаммите» Архимеда (см. Архимед. Сочинения / Пер. и комм. И. Н. Веселовского. — М., Физматгиз, 1962).

494

...Каковые суть у Платона числом пять. Исидор, очевидно, путает пять правильных многогранников, о которых говорит Платон в «Тимее» (Plat., Tim., 53с-55с), с пятью видами плоских фигур (см. ниже, гл. 12, §§1–2).

495

Телесные фигуры — это те, которые содержатся в длине, ширине и высоте. На данном месте у Кассиодора кончается содержательная часть (Cass., Inst., II, 6), поэтому все дальнейшее взято Исидором из другого, неизвестного нам, источника. По всей вероятности, им был утраченный еще в раннем средневековье трактат Боэция о геометрии. Впоследствии под его именем ходили два геометрических трактата, пятикнижный и двухкнижный, но оба подложные. Правда, можно предположить, что оригинальный текст Боэция вошел частично и в тот и в другой.

496

Телесные фигуры... разновидностей коих на плоскости пять. (Figurae solidae sunt, quae longitudine, latitudine