учение о пропорциях разрабатывалось не в связи с арифметикой, а в связи с гармоникой, то есть в связи с поисками консонансов и диссонансов струн разной длины (октава — отношение 2/1, квинта — 3/2, кварта — 4/3, большая и малая терции — 5/4 и 6/5 соответственно) потому чаще встречается у теоретиков музыки, пифагорейских и других. Боэций данные определения отношений помещает как в свой музыкальный трактат, так и в арифметический. Исидор следует Флавию Кассиодору. Вся дальнейшая теория будет связана с анализом отношения чисел p и q, p=nq+m, где p, q, n ∈ N, m ∈ Z при произвольном q и различных значениях параметров m и n. А именно: при n=1, m=0 — равенство, при n=1, m ≥ 1 (или n ≥ 2, m>q(1–n))-р больше q, в частности для отношения р к q, при n ≥ 2, m=0 — многократность, при n=1, m=1 — суперпартикулярность, при n=1, m ≥ 2 — суперпартиентность, при n ≥ 2, m=1 — многократная суперпартикулярность, при n ≥ 2, m ≥ 2 — многократная суперпартиентность. Отношения меньше, подмножителя, субсуперпартикулярности, субсуперпартиентности, многократной субсуперпартикулярности и многократной субсуперпартиентности — это обратные предыдущим шести, то есть такие, в которых при тех же значениях параметров рассматривается не отношение р к q, а отношение q к р, где р=nq+m. Данное исследование принадлежит поздним пифагорейским математикам, скорее всего, Архиту, хотя начальная часть этой теории (до суперпартикулярности включительно) восходит к Пифагору.

474

Число р называется суперпартикулярным по отношению к q, если p=q+1, где p, q ∈ N. Соответственно отношение суперпартикулярности — это отношение вида (q+1)/q=11/q. Для q=1 суперпартикулярность становится многократностью (двухкратностью). В этом и последующем определении под дополнительной «одной частью» будет иметься в виду 1/р-тая часть числа р, то есть просто единица, аналогично «две части» — двойка и т. д.

475

Число р называется суперпартиентным по отношению к q, если p=q+m, где р, q, m ∈ N, m ≥ 2. Соответственно отношение суперпартиентности — это отношение вида (q+m)/q=1m/q. Для m=kq, k ∈ N суперпартиентность становится многократностью.

476

Число q называется субсуперпартиентным по отношению к р, если р=q+m, где p, q, m ∈ N, m ≥ 2. Соответственно отношение субсуперпартиентности — это отношение вида q/(q+m). Для m=kq, k ∈ N субсуперпартиентное число становится подмножителем.

477

Число q называется субсуперпартикулярным по отношению к р, если р=q+1, где p, q ∈ N. Соответственно отношение субсуперпартикулярности — это отношение вида q/(q+1). Для q=1 субсуперпартикулярное число становится подмножителем (половиною).

478

Число р называется многократно суперпартикулярным по отношению к q, если p=nq+1, где p, q, n ∈ N, n ≥ 2. Соответственно отношение многократной суперпартикулярности — это отношение вида (nq+l)/q=n1/q.

479

Число q называется многократно субсуперпартикулярным по отношению к р, если p=nq+1, где p, q, n ∈ N, n ≥ 2. Соответственно отношение многократной субсуперпартикулярности — это отношение вида q/(nq+1).

480

Число р называется многократно суперпартиентным по отношению к q, если р=nq+m, где p, q, n, m ∈ N, n ≥ 2, m ≥ 2. Соответственно отношение многократной суперпартиентности — это отношение вида (nq+m)/q=nm/q. Для m=kq, k ∈ N многократная суперпартиентность становится многократностью. Для m=kq+1, k ∈ N многократная суперпартиентность становится многократной суперпартикулярностью. Если снять условие n ≥ 2, то многократная суперпартиентность становится простою суперпартиентностью. Если снять условия n ≥ 2, m≥ 2, то многократная суперпартиентность становится простою суперпартикулярностью.

481

Ci.: subsuperpartionalis вм. superpartionalis.

482

Число q называется многократно субсуперпартиентным по отношению к р, если р=nq+m, где p, q, n, m ∈ N, n ≥ 2, m≥ 2. Соответственно отношение многократной субсуперпартиентности — это отношение вида q/(nq+m). Для m=kq, k ∈ N многократно субсуперпартиентное число становится подмножителем. Для m=kq+l, k ∈ N многократная субсуперпартиентность становится многократной субсуперпартикулярностью. Если снять условие n ≥ 2, то многократная субсуперпартиентность становится простою субсуперпартиентностью. Если снять условия n ≥ 2, m ≥ 2, то многократная субсуперпартиентность становится простою субсуперпартикулярностью.

483

Линейные, плоскостные и объемные числа. Теория фигурных (геометрических) чисел также восходит к раннепифагорейской традиции. Считая числа при помощи камешков-псефов, математики обращали внимание на те случаи, когда эти камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме пифагорейцев, трактаты «О многоугольных числах» оставили Гипсикл (II в.) и Диофант (II в. н. э.), причем часть сочинения последнего сохранилась. Из математиков более поздних времен, этими числами увлекались П. Ферма и Б. Паскаль. Наиболее известными были треугольные, квадратные, пятиугольные, пирамидальные и кубические числа. N-e треугольное число, как легко заметить, представляет собою сумму чисел арифметической прогрессии, у которой первый член — единица и разность также единица, поэтому его формула проста: n(n+1)/2. Если обобщать на общий случай арифметической прогрессии, то следовало бы говорить о трапецеидальных числах (трапеция получится косоугольной).

Квадратные и кубические числа — очевидно просто квадраты и кубы натуральных чисел; их формулы для n-го числа соотвественно: n2 и n3:

Пятиугольные числа немного сложнее. Чтобы посчитать n-е пятиугольное число, его надо разбить на два треугольных, после чего останется еще n точек с краю. Формула получается такая: n+3n(n–1)/2.

Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для n-го k-угольного числа такова: n+(k–2)n(n–1)/2. Иногда выделяют еще прямоугольные числа, то есть составные, поскольку любое составное число можно, очевидно, выложить в виде прямоугольника со сторонами больше единицы. N-e пирамидальное число, как нетрудно заметить, равно сумме всех треугольных чисел от первого до n-го. Формула для вычисления такого числа имеет вид: n(n+1)(n+2)/6.

484

Непрерывное число — это когда число понимают как единицу длины.

485

Квадратные числа оказываются весьма интересными, так как при исследовании их свойств, вероятно, пифагорейцами был получен метод определения «Пифагоровых» или «вавилонских» чисел — целочисленных длин катетов и гипотенузы любого прямоугольного треугольника, то есть решению в целых