символических числовых обозначений) темы, заставляющие присмотреться к истории человечества с точки зрения процессов формирования «числовых образований», систем счета и т. п.

По Гуссерлю, история даёт показательные фактические примеры того, как числовые системы, которые представляются искусственными изобретениями высочайшего уровня, требующими сложнейших абстрактно-теоретических обоснований, вырабатываются «на пути естественного психологического развития» (24514–15), которое имело место уже и на низкой ступени развития духа.

«Времена, на которые падает возникновение систем чисел и числовых знаков, не знают исторических источников (преданий – Überlieferung), и потому немыслима репродукция исторического развития» (24518–20). А всё-таки есть возможность, по Гуссерлю, «реконструировать психологическое развитие подобных системных образований a posteriori и притом достоверно в его существенных пунктах» (24526–27).

Обратим внимание на то, что и здесь слова «психологическое развитие» становятся вряд ли удачным обозначением целого ряда совокупных процессов духовно-познавательного характера, ибо ведь Гуссерль предлагает читателям переместиться мыслями во «времена юности развития народов» (24533). А такое исследование вряд ли верно маркировать как «психологическое».

Заслуживающие внимания «процедуры», которые в те отдаленнейшие времена, уже «несомненно» по Гуссерлю, имели место и в сознании древних людей по отношению к множествам, вкратце таковы.

• Это более чем частный, повседневный интерес также и людей древних времен к упорядочиванию, а значит, к пересчитыванию «чувственных множеств», т. е. более чем обычных физических предметов, которые либо окружают человека, либо им потребляются. На стр. 246 ФА Гуссерль конкретно описывает, какую «большую роль играют такие объекты в «процессах практической жизни» (2461–5). И потом обращается к простому примеру, иллюстрирующему генезис и значение так называемых «пальцевых чисел» (Fingerzahlen). «Словесный язык в нашей понятийной области следовал языку жестов (Gebärdensprache), что известно на многих примерах числовых слов, первоначальное значение которых можно характеризовать как простой перевод пальцевых чисел в словесный язык… Нижней ступени духа, о которой здесь идет речь, соответствует то, что числа очень маленьких множеств уже не вызывали никаких усилий; требовалось лишь озаботиться тем, чтобы счет осуществлялся по шагам, притом чтобы ряд, следующий за неким членом множества, был сообразован с (каким-либо) поднятым пальцем. Таким образом, возникали последовательные ряды знаков для 1, 1+1=2, 2+1=1+1+1=3 и т. д., и тем самым в процессе становления уже находились ряды чисел как таковые» (24629–33–2473–11). Гуссерль повествует далее о тех трудностях и препятствиях, с которыми – в сравнении с более развитыми числовыми, счетными практиками – были вполне естественно и объяснимо связаны эти мысленно реконструируемые им начальные исторические этапы счетно-числовой деятельности человечества. Например, введение числа 10 было связано с препятствиями, – чем были, видимо, обусловлены достаточно долгие паузы в реальной исторической практике. Эти паузы Гуссерль увязывает с необходимостью для людей стародавних времен понять, что 5 пальцев одной руки «равнозначны» пальцам другой руки. И такие паузы – а сколько лет, веков они занимали, неизвестно – случались в истории то и дело.[195]

Из затруднений, связанных с конкретными предметами счета (с помощью пальцев или отобранных для этой цели предметов – камешков и т. д.), люди отдаленных времен, как показывает Гуссерль, выбирались как будто по-разному, но с логической, психологической, философской точек зрения (типологически) относительно сходными путями.

При этом имели место самые различные, но опять-таки типологически однородные переходные ступени, которые с течением времени тоже были оставлены позади. Историкам математики, как и историкам цивилизации, и во времена Гуссерля были известны, а потом были накапливаемы исследования, часть которых упоминает автор ФА.[196] На упоминаемых работах и исследовании сходной проблематики Гуссерль в ФА особо не задерживается, что вполне понятно, ибо не эта проблематика – центральная в ФА. Однако само обращение к ней вчерашнего математика, специализировавшегося в то время в философии арифметики (вместе с его охватом, как было показано, психологической, логической, философской литературы) дорогого сто́и т.

В заключение главы Гуссерль снова обращается к ранее разобранной теме «фигуральных моментов», которую мы, в силу её сугубо частного, специального значения, разбирать не будем.

13. «Логические источники арифметики»

(XIII глава Философии арифметики)

Подзаголовок этой главы с как будто весьма широко обозначенной темой, однако, значительно ограничивает угол зрения Гуссерля: «Счет, искусство счета и арифметика» (Rechnen, Rechenkunst und Arithmetik).

Гуссерль поясняет, что он не случайно увязывает со «счетным искусством» (Rechenkunst) свой анализ в ФА: «Понятие искусства счета имеют обыкновение ставить в тесную связь с арифметикой, а часто их отождествляют друг с другом» (2561–3). Он замечает, что арифметику, кроме того, «обычно определяют как науку о числах» (2563–4), но сам находит это определение «не полностью ясным» (2564–5). А потому автор ФА предлагает ближе присмотреться к «искусству счета» (или счетному искусству), делая это как раз на заключительных страницах своего труда.

Понятие «Rechenkunst» употребляется, по Гуссерлю, в широком и узком смыслах. «Под «счетом» в самом широком смысле можно понимать любой способ выведения искомых чисел из данных чисел» (25623–25).[197] Пояснения: когда мы объединяем, посредством сложения, числа 2 и 3 в число 5, то уже это называем счетом. «Всякий арифметический метод был бы eo ipso счетным. Счетное искусство было бы тогда искусством арифметического познания, а арифметика была бы его систематически упорядоченным целым» (2572–5). Осуществляется разделение методов выведения искомых чисел из данных: это 1) «понятийные (begriffliche) операции», отвечающие самой их сути, где обозначения играют лишь вспомогательную роль и 2) чувственные (sinnliche) по своей сущности операции, при которых «из систем числовых знаков, согласно твердым правилам, одни знаки выводятся из других – с той целью, чтобы в первую очередь объявить результат как обозначение определенного, искомого понятия» (25711–14).

Каким методам следует отдать предпочтение? Автор ФА оговаривает, что это вопрос их эффективности в том или ином отношении. «Предварительно мы можем лишь сказать, что последним (т. е. “чувственным операциям”. – Н. М.) в нашей области при всех обстоятельствах отдано предпочтение…» (25716–19). Дело в том, что «методы понятий» Гуссерль считает в высшей степени ограниченными и слишком трудоемкими, тогда как «конкретно-чувственные методы» всеобъемлющи, и они всегда под рукой, удобны для применения.

Однако, продолжает Гуссерль, имеется немало предрассудков, которые мешают «большинству исследователей» (meisten Forscher) признать ценность «чувственных методов», причем тогда они идут против «ясных очевидностей». Между тем, в понимании автора ФА, методы «чувственных знаков суть сами логические методы (die logische Methode) арифметики» (25736–37). В этих процессах, по Гуссерлю, и осуществляется «любого вида выведение знаков из знаков внутри какой-либо системы знаков, согласно “законам”, специфическим для этой системы или, лучше сказать, по принятым конвенциям, происходит связывание, обособление и преобразование (Umsetzung)» (25815–20).

Гуссерль подчеркивает: