фундаментальной важности этого факта (означающего невозможность аксиоматического определения натурального ряда с использованием указанных средств) изложим его подробнее.

Будем записывать аксиомы на формализованном символическом языке, в алфавит которого входят следующие знаки:

1. Знаки препинания: левая скобка «(» и правая скобка «)»;

2. Логические знаки «¬», «∧», «∨», «⇒», «∀», «∃», «=»;

3. Индивидные переменные х, у, z, и, v, w, х1, y1, z1, u1, v1, w1, …;

4. Знак «<».

С помощью этих букв по естественным и легко формулируемым синтаксическим правилам составляются формулы. Простейшие примеры формул:

х < у ∨ у < х; ∀х (х < х);

∃ х ∃у (у < х ⇒ у < х);

∃ у (х < у); ∀ х ∃у (х < у).

Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обязательно отношением строгого порядка), обозначаемым через «<». Всякое такое множество с отношением «<» будем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называемого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в высказывания, называются закрытыми[153], только их мы и будем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, становящуюся – при рассмотрении на данной структуре – истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структуре, а про структуру – что она удовлетворяет данной формуле.

Среди структур сигнатуры < выделена структура N – наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую формулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы – конечное или бесконечное – количество аксиом мы ни выписывали, всегда найдётся такая структура сигнатуры <, которая, во-первых, удовлетворяет всем выписанным аксиомам и, во-вторых, не изоморфна N.

Получается, таким образом, что натуральный ряд нельзя определить аксиоматически: ведь определить N аксиоматически – это значит записать такую систему аксиом, которая определяла бы N с точностью до изоморфизма (это, в свою очередь, значит, что любые две структуры, удовлетворяющие всем выписанным аксиомам, изоморфны).

«Позвольте, – снова возразит читатель, – но аксиомы Пеано ведь определяют Натуральный Ряд как раз с точностью до изоморфизма. Система аксиом Пеано категорична, а это как раз и означает, что все её модели[154] изоморфны». Немножко терпения, разберёмся и с аксиомами Пеано.

А сейчас обсудим вот какой вопрос. На Натуральном Ряде определено не только отношение порядка «<», но и бесчисленное множество других отношений и операций. Среди них двуместное (или бинарное) отношение делимости двух чисел; трёхместное (или тернарное) отношение «х + у = z»; одноместное (или сингулярное, singulary[155]) отношение «быть простым числом» (напомним, что свойства мы трактуем как одноместные отношения); двуместная операция сложения; двуместная операция умножения; двуместная операция возведения в степень (причём 00 = 1); одноместная операция непосредственного следования (мы будем, как это часто делается, обозначать её штрихом, так что, например, 0' = 1; 13' = 14); константы 0, 1, 2, 3, 4, … (напомним, что константы мы трактуем как нольместные операции); четырёхместная операция [logu+2 z! + yx·z+u] (здесь, как обычно, через [a] обозначается целая часть числа a); и многие другие. Мы привели лишь несколько примеров, а всего на N определено несчётное количество операций и отношений. Для того чтобы определить понятие структуры, изоморфной N, мы сперва должны из этого количества выделить некоторые (теоретически возможно – все) операции и отношения и рассмотреть изоморфизм относительно именно этих выделенных операций и отношений. На самом деле поэтому не существует понятия натурального ряда просто, а только понятие натурального ряда относительно данного списка операций и отношений. Выше мы рассматривали понятие натурального ряда относительно списка, в котором операций не было вовсе, а отношение одно – отношение «быть меньше».

Выделенные на множестве операции и отношения, а также выделенные элементы множества (таковых у нас пока не было) называют в контексте наших рассмотрений сигнатурными, а список таких операций и отношений – сигнатурой. Точнее, сигнатурой называют список не самих выделенных элементов, операций и отношений, а список их имён, но для наших целей это различие (само по себе очень важное) не слишком существенно, и нам проще его не замечать.

Множество с выделенными операциями и отношениями, образующими список σ, называется (математической) структурой сигнатуры σ. Теперь мы можем сказать, что всякий натуральный ряд является структурой той или иной сигнатуры σ. Поэтому следует говорить не о натуральном ряде вообще, а о натуральном ряде сигнатуры σ. До сих пор мы рассматривали случай, когда

σ = {<}.

Может быть, причина нашего неуспеха в попытке определить аксиоматически натуральный ряд вызвана именно бедностью сигнатуры? Давайте расширять сигнатуру и наблюдать, чтó при этом будет происходить.

Сперва добавим в сигнатуру константу «0» (для обозначения наименьшего, относительно порядка «<», элемента) и штрих «'» для обозначения операции непосредственного следования. На Натуральном Ряде N эти объекты подчинены аксиомам (свойствам) 7 и 8 (сравните свойства 4 и 5, которые вытекают из свойств 7 и 8).

7. ∀y (0 = у ∨ 0 < у).

8. ∀x (x < x' ¬ ∃ z (x < z ∧ z < x')).

Всякий натуральный ряд с сигнатурой {0, ', <} изоморфен, по определению, Натуральному Ряду N, причём изоморфизм рассматривается относительно {0, ', <}. Поэтому всякий такой натуральный ряд состоит из элементов 0, 0', …, упорядоченных следующим образом: 0 < 0' < 0'' < 0''' <…

замечание. Следует отдавать себе отчёт, что в каждом натуральном ряду свой 0, свой ' и своё <, т. е. свой элемент, обозначенный через «0», своя операция, обозначенная через «'», и своё отношение, обозначенное через «<». Строго говоря, для каждого натурального ряда мы должны были бы придумать своё обозначение этих объектов: например, если мы рассматриваем натуральный ряд M, то нужно прибавлять эту букву M в качестве индекса к знакам «0», «'», «<». Эта строгость создаёт некоторое удобство. Однако отсутствие строгости тоже создаёт некоторое удобство. Считается, что в данном случае удобство от нестрогости больше, и поэтому одним и тем же знаком «0» обозначаются различные элементы (но в каждом натуральном ряду – один и только один элемент; в частности, в Натуральном Ряду – мощность пустого множества). Аналогично знак «<» обозначает различные отношения (но в каждом натуральном ряду только одно) и знак