один в другой. (На языке подмножеств, например, аксиома индукции записывалась бы так:

∀ P{[0 ∈ Р ∧ ∀ x (х ∈ Р ⇒ х' ∈ Р)] ⇒ ∀ x (x ∈ Р)}.)

Итак, область изменения переменной Р в аксиоме индукции – совокупность всех свойств, определённых на рассматриваемой структуре. Посмотрим, как эта аксиома используется для того, чтобы установить, что удовлетворяющая аксиомам Пеано структура изоморфна N. Пусть структура сигнатуры {0, '} удовлетворяет аксиомам I–III. Аксиомы I–II обеспечивают наличие в этой структуре стандартной части {0, 0', 0'', 0''', …}. Теперь применим аксиому индукции, взяв в качестве значения переменной Р такое свойство P0 элементов структуры: «принадлежать к стандартной части». Аксиома гласит, что нечто справедливо для всякого Р, в частности для этого P0. Таким образом:

[Р0(0) ∧ ∀ x (Р0(х) ⇒ Р0(х'))] ⇒ ∀ xР0(x).

Заключённая в квадратные скобки посылка, очевидно, истинна (0 принадлежит стандартной части, и если x принадлежит стандартной части, то принадлежит и x'); поэтому ∀ xР0(x), т. е. все x (все элементы структуры!) принадлежат стандартной части. Стандартная часть, как уже было замечено, изоморфна N. Этим завершается доказательство того, что рассматриваемая структура изоморфна N.

Таким образом, всякая структура, удовлетворяющая аксиомам Пеано, изоморфна N, и, следовательно, эти аксиомы определяют понятие натурального ряда с сигнатурой {0, '}. Вроде бы это обстоятельство противоречит неоднократно делавшемуся нами заявлению, что системы аксиом с таким свойством не может быть.

Однако противоречия нет, и вот почему. Ранее речь шла лишь о свойствах Натурального Ряда, которые можно выразить определёнными языковыми средствами, иными словами, об аксиомах, записанных на определённом языке. В этом языке был лишь один вид переменных – индивидные переменные x, y, z, …. Сущность этих индивидных переменных заключается в том, что при интерпретации на какой-либо структуре областью изменения каждой из этих переменных объявляется одно и то же множество – множество всех элементов рассматриваемой структуры. В аксиоме же индукции участвует переменная другого вида – переменная Р. Её значениями являются не элементы рассматриваемой структуры, а свойства этих элементов (иначе, определённые на этих элементах одноместные предикаты, отчего сама переменная Р называется предикатной, точнее, предикатной переменной валентности 1). Таким образом, аксиома индукции – это формула другого, расширенного языка, более широкого, нежели рассматривавшийся до сих пор узкий язык. (Узкий потому, что в нём бывают только индивидные переменные.) А когда мы говорили, что систем аксиом, полностью характеризующих натуральный ряд, не бывает, мы имели в виду этот прежний, узкий язык.

Разъяснение, конечно, дано, но вряд ли оно кого-нибудь удовлетворит. Что с того, что на каком-то языке нельзя написать систему аксиом натурального ряда? Это, как говорится, «факт не биографии натурального ряда, а биографии этого языка». Просто-напросто узкий язык плохой, а вот теперь мы нашли хороший, расширенный язык, на котором как раз и возможно выписать адекватные аксиомы натурального ряда.

Однако всё не так просто. Грубо говоря, дело обстоит как раз наоборот: узкий язык «хороший», а расширенный – «плохой».

Попробуем разъяснить ситуацию. Начнём с терминологии. Формулы, в которых все переменные индивидные, называются элементарными, а язык, в котором допускаются только элементарные формулы, – элементарным. Синонимом для термина «элементарный» в данном контексте является термин «1-го порядка», или «первопорядковый». Все рассматриваемые выше аксиомы, кроме аксиомы индукции (т. е. все аксиомы 1–8 и I–II), были элементарными аксиомами, т. е. элементарными формулами. Не существует никакой (ни конечной, ни бесконечной и притом любой сигнатуры) системы элементарных аксиом, которой удовлетворял бы Натуральный Ряд N и все модели которой были бы изоморфны Натуральному Ряду N.

Бывают и неэлементарные формулы, но они принадлежат неэлементарному языку. В этом языке допускаются переменные более сложной природы – предикатные переменные валентности 1, значениями которых служат свойства (= одноместные отношения), предикатные переменные валентности 2, значениями которых служат бинарные (= двуместные) отношения и т. п., а также функциональные переменные (значением функциональной переменной валентности 1 может быть любая одноместная операция, такая, скажем, как «следование за», а значением функциональной переменной валентности 2 может быть любая двуместная операция, такая, скажем, как сложение). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы. Более точно, неэлементарный язык с описанными только что возможностями называется языком 2-го порядка: это значит, что в нём допускаются переменные, пробегающие по отношениям и операциям (каковые отношения и операции должны быть определены на элементах структуры), но не рассматриваются более сложные переменные, значениями которых могут служить, скажем, свойства операций или операции над отношениями (или свойства отношений, такие как транзитивность). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы языка 2-го порядка (или просто примером формулы 2-го порядка).

Казалось бы – и наличие аксиом Пеано это как бы подтверждает – возможна система неэлементарных аксиом 2-го порядка (т. е. аксиом, записанных в виде формул этого неэлементарного языка), определяющая понятие натурального ряда в следующем точном смысле:

1) N является моделью этой системы;

2) всякая модель этой системы изоморфна N.

Однако здесь возникают неожиданные, но совершенно фундаментальные трудности семантического (можно даже сказать – гносеологического) характера. Дело в том, что уже для языка 2-го порядка (не говоря уже о более сложных неэлементарных языках) само понятие модели теряет необходимую ясность. Это положение иллюстрируется следующим примером, связанным с так называемой проблемой континуума.

Как известно, количество элементов какого-либо множества называется кардинальным числом, или мощностью, этого множества. Понятие кардинального числа, или мощности, является обобщением понятия натурального числа, поскольку натуральные числа – это мощности конечных множеств. Среди бесконечных мощностей выделяются следующие две: мощность множества всех натуральных чисел и мощность множества всех действительных чисел (или всех точек какой-либо прямой). Первая обозначается

(читается «áлеф-ноль») и называется счётно-бесконечной мощностью (или бесконечной счётной, а чаще – просто счётной, хотя нередко бывает полезным называть счётными не только счётно-бесконечные, но и конечные мощности, т. е. натуральные числа); вторая обозначается (строчное готическое «це») и называется мощностью континуума, континуальной мощностью. Эпитеты «счётно-бесконечный» («бесконечный счётный», «счётный») и «континуальный» распространяются и на множества соответствующих мощностей. Очевидно[157],

Знаменитая проблема континуума состоит в выяснении того, существует или нет промежуточная мощность, т. е. мощность

удовлетворяющая неравенству

Знаменитая континуум-гипотеза состоит в том, что такой мощности нет. Философский смысл континуум-гипотезы очевиден: не существует количества, промежуточного между количеством всех натуральных чисел и количеством всех точек прямой линии (или равным ему количеством всех действительных чисел)! Эквивалентная формулировка континуум-гипотезы: всякая бесконечная часть континуального