(т. е. имеющего континуальную мощность) множества либо сама имеет мощность континуума, либо же имеет счётно-бесконечную мощность.

историческая справка. Континуум-гипотезу высказал ещё в XIX в. Георг Кантор (1843–1918) – великий немецкий (впрочем, родившийся в Санкт-Петербурге и проведший там первые одиннадцать лет жизни) философ и математик, создатель теории множеств. Он высказал эту гипотезу не как гипотезу, а как положительное утверждение. А именно: в написанной в 1877 г. статье «К учению о многообразиях» [27, с. 257; 29, с. 132] Кантор заявил, что всякое бесконечное множество точек на прямой имеет либо континуальную, либо счётно-бесконечную мощность и что это утверждение устанавливается «с помощью индуктивного рассуждения, которое мы не будем здесь приводить». «Строгое исследование этого вопроса, – завершалась статья, – мы откладываем до другого раза». И действительно, с 1879 г. Кантор начал отдельными порциями публиковать трактат под названием «О бесконечных линейных точечных многообразиях»; эта серия публикаций должна была увенчаться доказательством заявленного утверждения. В шестой публикации [28] названной серии это утверждение и в самом деле было доказано, но лишь для узкого класса множеств (а именно для так называемых замкнутых множеств). Соответствующая теорема была сформулирована в самом конце статьи [28], и её формулировка сопровождалась утверждением, что «эта замечательная теорема» (dieser merkwürdige Satz) остаётся справедливой и для произвольных множеств и что это будет доказано в последующих параграфах трактата. Таким образом, Кантор, во-первых, доказал, что не существует такого количества, промежуточного между счётно-бесконечным и континуальным, которое служило бы количеством элементов какого-либо замкнутого множества на прямой линии, а также, во-вторых, обещал предъявить доказательство более сильного утверждения, а именно: что ни для какого (а не только замкнутого) множества точек на прямой линии количество этих точек не может быть промежуточным. Статье [28], завершённой 15 ноября 1883 г., суждено было стать последней в серии. Кантор обнаружил, что не в состоянии выполнить своё обещание, поскольку не располагает доказательством для общего случая. Это осознание имело драматические последствия. В мае 1884 г. Кантора постиг первый приступ нервной болезни. Через месяц приступ прошёл, но болезнь уже не отпускала свою жертву, а с 1899 г. приступы участились. После 1897 г. Кантор уже ничего не публиковал, а в 1918 г. умер в нервной клинике.

Ныне известно (в силу результатов, полученных К. Гёделем и П. Коэном), что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Говоря «доказать» и «опровергнуть», мы имеем в виду все мыслимые средства, допускаемые современной математикой. А значит, повисает в воздухе вопрос о самом смысле континуум-гипотезы. В самом деле, смысл утверждения, истинность или ложность которого заведомо нельзя установить никакими средствами, воспринимается как туманный. Эта чрезвычайная ситуация радикально отличается от такого часто встречающегося положения, когда мы просто чего-то не знаем (но хотя бы ясно понимаем сам вопрос[158]).

Оказывается, что можно выписать формулу 2-го порядка, которая тогда и только тогда имеет модель (т. е. такую структуру, в которой она становится верна), когда континуум-гипотеза справедлива. Можно выписать и такую формулу 2-го порядка, наличие у которой модели равносильно, напротив, наличию промежуточной мощности, т. е. справедливости отрицания континуум-гипотезы. Таким образом, для формул 2-го порядка вопрос о наличии у них модели может оказаться столь же туманным, как сама континуум-гипотеза. (Пример формулы, обладающей указанным свойством, интересующийся читатель найдёт в приложении к данной статье.)

Кажется сомнительным, чтобы язык со столь неясной семантикой мог служить удовлетворительным средством для аксиоматического определения чего-нибудь, в частности натурального ряда.

И действительно, если мы проанализируем использование аксиомы индукции в процессе доказательства того, что любая модель аксиом I–III изоморфна N, мы увидим, что здесь, по существу, используется то самое понятие натурального числа, которое мы ещё только собираемся аксиоматически определить. Наше свойство P0 означает «иметь вид 0''…'». Многоточие между штрихами в выражении «0''…'» как раз и пытается заменить собою общее представление о натуральном числе. А выразить свойство Р0 без априорного представления о натуральном числе или без заменяющих его многоточия или слов «и так далее» невозможно.

5. «Можно ли доказать, что великую теорему ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?»

Именно так было озаглавлено пятое размышление в опубликованном в 1987 г. первоначальном тексте этой работы. В то время убеждение в справедливости Великой теоремы Ферма основывалось на некой иррациональной вере: доказательство теоремы отсутствовало, отсутствовало и опровержение. Напомним, что опровержение какого-либо утверждения состоит в доказательстве его ложности; опровергнуть утверждение – значит доказать, что оно является ложным, иначе говоря, доказать его отрицание.

Однако с тех пор в мировой науке произошло важное событие: более чем через 350 лет после того, как была сформулирована Великая теорема Ферма, она была наконец доказана! Автором доказательства стал сорокалетний англичанин Эндрю Уайлс (A. Wiles), выпускник аспирантуры Кембриджа, переехавший в 1980-е гг. в Америку и ставший профессором Принстонского университета.

Доказательство Уайлса рождалось с драматизмом, достойным Великой теоремы. После многих лет упорной работы к маю 1993 г. Уайлс был убеждён, что обладает доказательством, которое он изложил в общих чертах в трёх лекциях, прочитанных в его родном Кембридже 21–23 июня 1993 г. В номере от 5 июля 1993 г. известный американский журнал Time посвятил этому событию статью с подзаголовком «Решена самая знаменитая математическая проблема в истории». В январе 1994 г. популярный математический журнал опубликовал статью [31] о многовековой осаде Великой теоремы Ферма – осаде, завершившейся предпринятым Уайлсом семилетним штурмом; впрочем, в конце статьи содержалось следующее примечание:

На декабрь 1993 г. рукопись Уайлса ещё не обнародована. Кен Райбет (Ken Ribet) отмечает, что применительно к длинным рукописям подобная задержка является сравнительно нормальной. Большинство экспертов продолжает верить в то, что в основном доказательство правильно.

Однако, когда Уайлс записал своё доказательство, в нём обнаружился пробел (т. е. недоказанный логический переход). Над учёным нависла угроза провала. (Здесь уместно вспомнить судьбу Георга Кантора.) К счастью, в сентябре 1994 г. с помощью своего ученика Ричарда Тэйлора (R. Taylor) Уайлс сумел пробел устранить. Уточнённое доказательство Уайлса теперь уже не подвергается сомнению в мире математиков. Подробнее обо всём этом можно прочесть в замечательной книге Саймона Сингха [32].

Итак, теорема Ферма доказана. Поэтому избранный нами в качестве заголовка вопрос «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» потерял свой смысл и потому взят в кавычки; сегодня ответом на него должно служить уверенное «нельзя». Попробуем, однако, перенестись в прошлое, когда теорема Ферма ещё не была ни доказана, ни опровергнута. Будем рассуждать в рамках того прошедшего времени, когда ещё не было известно, появится ли когда-либо доказательство или опровержение Великой теоремы. С современной точки зрения настоящее, пятое, размышление, вероятно, следовало бы озаглавить так: «Можно