о сферах, который взял описание системы Евдокса из книги по истории астрономии, составленной Евдемом Родосским (она тоже не сохранилась). Подобная ситуация вообще характерна для большинства античных источников.

Так или иначе, но по имеющимся данным невозможно в точности восстановить концепцию Евдокса, однако многие детали вполне ясны. Предполагалось, что Солнце, Луна и планеты расположены на вложенных друг в друга и равномерно вращающихся сферах, оси которых наклонены по отношению друг к другу. Кроме того, центры всех сфер совпадают с центром Земли, так что подобная система получила название гомоцентричной. Не совсем понятно, зачем Евдоксу понадобились именно сферы, поскольку все сопряжения проходят через их экваторы, и всегда можно говорить просто о концентрических кругах. Вероятно, важную роль тут сыграли, в том числе, и эстетические соображения. Впрочем, надо понимать, что сохранившихся сведений недостаточно для полного понимания всех особенностей движения сфер, поэтому далее мы будем рассматривать трактовку, предложенную итальянским астрономом XIX века Скиапарелли, но на самом деле существуют и другие варианты реконструкции системы Евдокса, хотя в их пользу говорит меньше сохранившихся данных.

Наиболее просто в модели Евдокса описывается движение Солнца, складывающееся из суточного вращения вместе с небом с востока на запад, а также годового вращения с запада на восток вдоль эклиптики. Предполагалось, что Солнце S жестко закреплено на экваторе-эклиптике сферы, которая наклонена относительно Земли T и вращается вокруг нее с периодом в один год. Снаружи расположена еще одна сфера (ее ось совпадает с осью Земли), которая вращается в противоположном направлении с периодом в одни сутки.

Во времена Евдокса ошибочно полагали, что Солнце периодически отклоняется от эклиптики в направлении север-юг, поэтому в описанную систему была добавлена еще одна внутренняя сфера с неизвестным периодом. Причинами такого заблуждения, очевидно, являлись, во-первых, слабая точность наблюдений с использование одного лишь гномона, а, во-вторых, такое соображение, что Луна и планеты не следуют эклиптике, поэтому и у Солнца должно иметься подобное свойство хотя бы в некоторых созвездиях зодиака. В любом случае нет никаких числовых данных касательно того, какой наклон принял Евдокс для третьей сферы, и, скорее всего, никаких точных мыслей на этот счет у него не было: он просто придерживался традиции. С другой стороны в модели не учитывался уже известный грекам факт о разной продолжительности времен года из-за неравномерного перемещения Солнца по эклиптике.

Движение Луны также описывалось тремя сферами: суточной, месячной (имеется в виду, конечно же, лунный месяц) и еще одной, которая моделировала реальный наклон лунной траектории на 5 градусов по отношению к эклиптике. Третья сфера также отвечала за то, что линия пересечения плоскости лунной траектории с эклиптикой делает полный оборот за 18 лет 7 месяцев. Если угловые скорости всех трех сфер подобрать достаточно точно (а необходимые данные у Евдокса, несомненно, имелись), то путь Луны L по небу получит вполне удовлетворительное геометрическое приближение.

Траектории всех пяти известных планет — Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна — Евдокс описывает с помощью четырёх сфер. Первая внешняя сфера каждой планеты имеет период обращения равный одним суткам и отвечает за суточное движение планеты. Вторая сфера, экватор которой совпадает с эклиптикой, отвечает за движение по зодиаку, и поэтому период ее обращения равен сидерическому году (промежутку времени за который планета совершает полный оборот вокруг Солнца относительно удаленных звёзд) для Марса, Юпитера и Сатурна (внешних планет) и — одному земному году для Меркурия и Венеры (внутренних планет). Очевидно, Евдокс не знал, что орбитальная скорость планет непостоянна (на эллиптической орбите скорость тем меньше, чем дальше планета удалена от Солнца), поскольку равномерное круговое вращение на сфере никак не может этого объяснить.

Две внутренние сферы — третья и четвертая — вращаются навстречу друг другу с одинаковыми периодами, равными синодическому периоду планеты (промежуток времени между двумя последовательными соединениями планеты с Солнцем при наблюдении с Земли), причем их оси не совпадают. Сама планета жестко закреплена на экваторе четвертой сферы (это гипотеза, поскольку в сохранившихся описаниях об этом ничего не говорится). Положения осей третьей сферы на эклиптике (экваторе второй сферы) различается для внешних планет, но совпадает у Меркурия и Венеры.

Если рассмотреть только лишь сочетание движений по двум внутренним сферам, то при правильно подобранных угловых скоростях планета P всегда будет оставаться по одну сторону от Земли T, описывая на небе траекторию похожую на восьмерку. Евдокс назвал данную кривую гиппопедой, вероятно, потому, что именно так завязывают веревку, когда спутывают ноги лошадям; по другой версии — существовало конное упражнение, заключавшееся в том, чтобы заставить лошадь скакать по траектории такой формы.

Спроецировать на небесную сферу траекторию точки, получаемую как сумму вращения двух наклоненных сфер, — непростая задача (на самом деле в результате нужно было иметь проекцию на плоскость), однако, все же, вполне посильная для талантливого античного геометра, каким был Евдокс. Полученная кривая является классической лемнискатой с уравнением в полярных координатах ρ2 = 2с2·cos(2ϕ), лежащей на сферической поверхности. Разумеется, греческая математика не знала таких уравнений, но в древности лемнискату получали, рассекая тор плоскостью, параллельной его оси и касающейся внутренней поверхности. Евдокс определенно понимал, что его гиппопеда симметрична относительно прямой 1–3–5, совпадающей с экватором второй сферы, то есть с эклиптикой. Расстояние между точками 1 и 5 соответствует диаметру окружности, которую описывает полюс четвертой сферы, двойная точка 3–7 равноудалена от полюсов третьей сферы, а дуги 1–2, 2–3, 3–4 и так далее (пути между последовательными точками) планета проходит за одинаковые промежутки времени.

Общий путь планеты среди звезд (не считая суточного вращения) складывается из движения по гиппопеде и одновременного медленного вращения второй сферы вдоль зодиака (по эклиптике). В результате вся гиппопеда перемещается влево в горизонтальном направлении, причем между точками 1 и 5 скорость планеты складывается с вращением второй сферы, а после точки 5 планета разворачивается и совершает попятное движение. Всю восьмерку планета описывает за синодический период, причем, когда скорость вращения второй сферы уравновешивается обратным движением по лемнискате, планета как будто останавливается и возникает стояние. Через двойную точку планета проходит с максимальной скоростью (прямой или попятной) в моменты своего соединения (верхнего и нижнего) с Солнцем. Высота гиппопеды дополнительно обеспечивает и перемещение планеты по широте.

Суточное вращение звезд описывалось с помощью еще одной сферы. Таким образом, для моделирования всех небесных движений Евдоксу потребовалось всего 27 сфер: одна для звёзд, по три для Солнца