1 шанс из 20 000". Но что это за вопрос, на который отвечает это число? Это вероятность атаки в то утро? В этот день? В тот год? Вообще? Ответы на эти разные вопросы должны сильно различаться; вероятность атаки утром 11 сентября должна быть гораздо ниже, чем вероятность того, что попытка такой атаки будет предпринята в какое-то время. И оцениваем ли мы вероятность того, что "террористы врежутся самолетами в здания на Манхэттене" или "возможность террористической атаки на высокие здания"? Существует множество форм террористических атак на высокие здания, не связанных с самолетами, например, бомба 1993 года в подвале Северной башни. Без четкой спецификации проблемы нет оснований ожидать значимых, последовательных или полезных ответов на вопросы о вероятности.

Далее Сильвер уточняет вероятность случайного попадания самолета во Всемирный торговый центр: "Эту цифру можно оценить эмпирически", - утверждает он, определяя вероятность как 1 к 12 500. Он сообщает о двух несчастных случаях до 2001 года, когда самолеты сталкивались со зданиями на Манхэттене, в 1945 и 1946 годах соответственно. Таким образом, в период с 1946 по 2001 год было около 25 000 дней, когда самолеты не врезались в нью-йоркские небоскребы. За это время движение самолетов увеличилось на несколько порядков, а управление воздушным движением усовершенствовалось до неузнаваемости. Мы не знаем, как из приведенных данных можно сделать вывод, что вероятность такой аварии в любой конкретный день составляет 1 к 12 500, хотя нам понятен расчет, который сделал Сильвер . Он разделил 25 000 - количество дней между 1946 и 10 сентября 2001 года - на два - количество авиакатастроф с высотными зданиями на Манхэттене между 1945 и 10 сентября 2001 года.

 

Проблема двух детей

В отсутствие какой-либо другой информации вероятности того, что ребенок - мальчик или девочка, более или менее равны. Так, в отсутствие какой-либо другой информации, вероятность того, что первый ребенок в семье Смитов - мальчик, равна половине, и вероятность того, что первый ребенок - девочка, также равна половине. И, в отсутствие какой-либо другой информации, вероятности того, что второй ребенок в семье с двумя детьми - мальчик или девочка, также равны, и каждая из них равна половине. Эти утверждения основаны не на "принципе безразличия", а на результатах биологических исследований, подтвержденных наблюдаемыми частотами. Семьи с двумя детьми очень распространены в современных развитых странах, и частоты последовательностей BB, GG, BG и GB - где первая буква определяет пол первого ребенка, а вторая буква - пол второго ребенка - более или менее одинаковы. Это вопрос биологии, делающей пол последующих детей в семье более или менее независимым, что также подтверждается наблюдениями.

Мальчики и девочки рождаются в более или менее равном количестве. И хотя число рождений в Англии и Франции также одинаково - около 700 000 в год - вероятность того, что первый ребенок в семье с двумя детьми - англичанин, а второй - француз, очень мала, гораздо меньше, чем вероятность того, что оба ребенка - англичане или французы. EE и FF встречаются очень часто, FE и EF - нет. Этот очевидный момент иллюстрирует, почему всегда опасно говорить о вероятностях без понимания процессов, которые порождают наблюдаемые данные, как многие с удивлением обнаружили во время мирового финансового кризиса.

Теперь предположим, что вам сказали, что у Смитов двое детей, и вы знаете, что один из них - девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок тоже девочка? Эта проблема была впервые поставлена в 1959 году Мартином Гарднером, американским математическим журналистом и составителем головоломок, и с тех пор остается спорной и нерешенной, "печально известной", по мнению одного автора. Как отмечается в Википедии, почти все, кто писал об этой проблеме, по-прежнему убеждены, что их различные ответы верны.

Существуют четыре равновероятные последовательности рождения: BB, GG, BG и GB. Одна из них - BB - исключается информацией о том, что один ребенок - девочка. Остальные три остаются равновероятными. Только в одном случае из оставшихся трех у девочки есть сестра (GG). Таким образом, соответствующая вероятность составляет один к трем. Это кажется убедительным.

Но посмотрите на этот вопрос с другой стороны. Предположим, вам ничего не сказали о поле первого ребенка. Тогда было бы легко согласиться с тем, что вероятность того, что второй ребенок будет девочкой, равна половине. Но поскольку ребенок с одинаковой вероятностью может быть мальчиком или девочкой, а пол второго ребенка не зависит от пола первого, информация о том, что один из двух детей - девочка, ничего не говорит вам о вероятности того, что второй ребенок - девочка. Следовательно, соответствующая вероятность равна один к двум. Этот аргумент также кажется убедительным.

Но только одно из этих предложений может быть верным. Так какова вероятность того, что у девочки есть сестра, - одна из двух или одна из трех? Ответ может зависеть от того, как именно была получена информация о том, что один ребенок - девочка. Без такого знания проблема недостаточно определена. Вы приглашаете новых соседей, Смитов, на чай, и они говорят вам, что приведут двух своих детей. Первый ребенок, выбежавший на тропинку, - девочка. В отсутствие какой-либо другой информации разумно предположить, что это наблюдение ничего не говорит нам о поле второго ребенка, так же как пол первенца ничего не говорит нам о поле второго ребенка. Поэтому ответом на вопрос будет половина - известная частота детей женского пола.

Но предположим, что вы занимаетесь вербовкой в ряды бойскаутов или девочек-гидов. Вы посещаете собрание девочек-гидов и предлагаете тем присутствующим девочкам, у которых есть ровно одна родная сестра, обратиться к ней, если эта сестра - девочка, по поводу членства. Какова вероятность того, что у девочек есть сестра, которую можно завербовать? Сейчас вы рассматриваете только семьи с двумя детьми, в которых есть хотя бы одна девочка, что исключает включение любых домохозяйств ВВ. В отсутствие какой-либо другой информации вероятность равна одной трети. Но проблема не до конца определена. Домашние хозяйства GG могут быть перепредставлены. Вступают ли девочки в "Гиды", чтобы уйти от своих братьев, сестер или потому, что слышали хорошие отзывы от своих братьев и сестер? Нивелирует ли один эффект другой? Возможно. А может быть, и нет. Мы просто не знаем. А что если вы встретитесь с ребенком по какому-то незапланированному поводу? Это может быть похоже на встречу с первым ребенком на тропинке, а может и нет. Возможно, отцы чаще берут своих сыновей