– ra, «короткий» продавец не может вернуть себе какую бы то ни было часть сэкономленных издержек хранения и должен платить транзакционные издержки ts. Тогда фьючерсная цена будет находиться в следующих границах:

(S – ts)(1 + ra)t < F* < S[(1 + rb)t + kt].

Если цена фьючерса выходит из этих границ, то возникает возможность арбитража, как это показано на рисунке 34.5.

Фьючерсы на фондовые индексы

Фьючерсы на фондовые индексы становятся важной и растущей частью большинства финансовых рынков. Сегодня можно купить или продать фьючерсы на основе индексов Dow Jones, S&P 500, Nasdaq и Value Line.

Индексный фьючерс дает покупателю возможность участвовать в любом увеличении индекса сверх цены индексного фьючерса, а продавцу – в любом уменьшении индекса по сравнению с одной и той же точкой отсчета. Для того чтобы оценить арбитражное ценообразование индексного фьючерса, рассмотрим следующие стратегии:

Стратегия 1. Короткая продажа входящих в индекс акций на срок жизни индексного фьючерса; инвестирование потоков по безрисковой ставке (эта стратегия требует, чтобы владельцам акций были компенсированы дивиденды, которые они получат по акциям).

Стратегия 2. Продажа индексного фьючерсного контракта.

Обе стратегии требуют одних и тех же первоначальных инвестиций, они связаны с одним и тем же риском и должны обеспечить одинаковые потоки. Кроме того, если S – спот-цена индекса, F – фьючерсные цены, у – годовой дивидендный доход по акциям иг– безрисковая ставка, то денежные потоки от этих двух контрактов к истечению их срока могут быть записаны следующим образом:

F* = S(1 + r – у)t.

Если фьючерсная цена отклоняется от этой арбитражной цены, то должна возникать возможность арбитража, которая иллюстрируется на рисунке 34.6.

Этот арбитраж обусловлен несколькими допущениями. Во-первых, подобно арбитражу с товарным фьючерсом, в нем допускается, что инвесторы могут ссужать и занимать по безрисковой ставке. Во-вторых, в нем игнорируются транзакционные издержки как в отношении покупки акций, так и в части их короткой продажи. В-третьих, в нем допускается, что дивиденды, выплачиваемые по входящим в индекс акциям, точно известны в начале периода. Если эти допущения нереалистичны, то арбитраж с использованием индексного фьючерса станет реальностью, только если цены выйдут за пределы диапазона, ширина которого зависит от степени нарушения выдвинутых предположений.

Допустим, что инвесторы могут занять деньги по ставке rb и ссудить деньги по ставке ra, транзакционные издержки от покупки акций составляют tc, а от короткой продажи – ts. Диапазон, в пределах которого должна находиться фьючерсная цена, может быть определен следующим образом:

Арбитраж, возникающий в случае выхода цены фьючерса за пределы этого диапазона, иллюстрируется на рисунке 34.7.

На практике одной из проблем, которые следует учитывать, является сезонность дивидендов, поскольку дивиденды, выплачиваемые по акциям, за одни месяцы обычно выше, чем за другие. На рисунке 34.8 представлены выплачиваемые дивиденды в виде процента от индекса S&P 500 для каждого месяца 2000 г. Таким образом, дивидендные доходы, по всей вероятности, достигают пика в феврале, мае, августе и ноябре.

Фьючерсы на казначейские облигации

Фьючерсы на казначейские облигации, торгуемые на CBOT, требуют поставки любых государственных облигаций со сроком погашения свыше 15 лет при отсутствии возможности досрочного выкупа в течение, по меньшей мере, первых 15 лет. Поскольку облигации с различными сроками погашения и купонами будут иметь разные цены, на CBOT существует процедура корректировки цен облигаций для учета их характеристик. Конверсионный фактор сам по себе рассчитать просто, и основан он на стоимости облигаций в первый день месяца поставки при допущении, что процентная ставка для всех сроков погашения равна 8 % в год (как сложный полугодовой процент). В нижеследующем примере рассчитывается конверсионный фактор для облигации с купонной ставкой 9 % и сроком 20 лет до погашения.

Фьючерсы на валюту

Во фьючерсном контракте на валюту заключается соглашение о покупке или продаже иностранной валюты по цене, зафиксированной сегодня. Для того чтобы увидеть, как связаны цена спот и фьючерсная цена валюты, сначала отметим, что владение иностранной валютой дает инвестору возможность зарабатывать безрисковую ставку процента (Rf), превалирующую для данной валюты, в то время как находящаяся в пределах своей страны валюта зарабатывает местную безрисковую ставку (Rd). Учитывая, что инвесторы могут покупать валюту по ставкам спот, а также допуская отсутствие ограничений на инвестирование по безрисковой ставке, мы можем вывести зависимость между ценой спот и фьючерсной ценой. Паритет процентных ставок связывает дифференциал между фьючерсной ценой и ценой спот со ставками процента на внутреннем и иностранном рынках.

Предположим, что годовая процентная ставка в США равна 5 %, а годовая ставка в Германии составляет 4 %. Теперь допустим, что валютный курс спот равен 0,65 долл. за немецкую марку. Фьючерсная цена для срока 1 год, основанная на паритете процентных ставок, должна быть следующей:

Почему эта величина должна быть фьючерсной ценой? Если бы фьючерсная цена поднялась свыше 0,65625 долл., до уровня, скажем, 0,67 долл., то инвестор мог бы получить преимущество от искаженного ценообразования, продав фьючерсный контракт, полностью страхуясь от риска и достигая доходности, превышающей безрисковую ставку. Когда безрисковая позиция дает доход, превосходящий уровень безрисковой ставки, она называется арбитражной позицией. Действия, которые инвестору следует предпринять, представлены в таблице 34.3, где денежные потоки, связанные с каждым действием, показаны в круглых скобках, стоящих после каждого действия. Этот арбитраж приводит к безрисковой прибыли 0,0143 долл. при отсутствии первоначальных инвестиций. Следовательно, процесс арбитража обязательно приведет к снижению фьючерсных цен до уровня равновесной цены.

Если бы фьючерсная цена оказалась ниже 0,65625 долл., то действия должны были иметь противоположный характер с тем же самым заключительным результатом. Инвесторы получают возможность не принимать на себя никакого риска, не вкладывать денег, но все же по истечении срока прийти к положительным денежным поступлениям. Этот случай также описан в таблице 34.3, где представлены действия, способные привести к безрисковой прибыли, равной 0,0264 немецких марок.

ВЛИЯНИЕ УНИКАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ

Арбитраж позволяет измерить детерминанты фьючерсных цен для широкого класса активов. Однако на фьючерсные цены влияют отдельные уникальные особенности. Одна из них – это необходимость переоценки фьючерсных контрактов в соответствии с рыночными ценами, в то время как для форвардных контрактов этого не