= 111

Мы привели здесь решения только до 6. Остальные придумайте сами. Да и указанные решения можно составить и другими комбинациями троек.

Будет только один такой год в XX веке: 1961-й.

Единственные цифры, которые не искажаются в зеркале, – это 1, 0 и 8. Значит, искомый год может содержать в себе только такие цифры. Кроме того, мы знаем, что это один из годов XIX века, т. е. что первые его две цифры 18.

Легко сообразить теперь, какой это год: 1818-й. В зеркале 1818 год превратится в 8181-й: это ровно в 4½ раза больше, чем 1818:

1818 × 4½ = 8181.

Других решений задача не имеет.

Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел нет.

Таких чисел сколько угодно:

3 × 1 = 3; 3 + 1 = 4;

10 × 1 = 10; 10 + 1=11

и вообще всякая пара целых чисел, из которых одно – единица.

Это потому, что от прибавления единицы число увеличивается, а от умножения на единицу остается без перемены.

Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с такими свойствами нет.

1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:

1 + 2 + 3 = 6; 1 × 2 × 3 = 6.

Таких чисел очень много. Например:

2: 1 = 2; 2 × 1 = 2;

7: 1 = 7; 7 × 1 = 7;

43: 1 = 43; 43 × 1 = 43.

Вот еще четыре пары таких чисел:

11 и 110; 14 и 35; 15 и 30; 20 и 20.

В самом деле:

11 × 110 = 1210; 15 × 30 = 450;

11 + 110 = 121; 15 + 30 = 45;

14 × 35 = 490; 20 × 20 = 400;

14 + 35 = 49; 20 + 20 = 40.

Других решений задача не имеет. Довольно хлопотливо разыскивать решения вслепую. Знание начатков алгебры значительно облегчает дело и дает возможность не только отыскать все решения, но и удостовериться, что больше пяти решений задача не имеет.

Рассуждаем так. Цифра 6 получилась от сложения колонки из двух цифр, из которых нижняя может быть либо 0, либо 5. Но если нижняя 0, то верхняя 6. А может ли верхняя цифра быть 6? Пробуем: оказывается, чему бы ни равнялась вторая цифра множителя, никак не получается 6 на предпоследнем месте первого частного произведения. Значит, нижняя цифра предпоследней колонки должна быть 5; тогда над ней стоит 1.

Теперь легко восстановить часть стертых цифр:

Последняя цифра множителя должна быть больше 4, иначе первое частное произведение не будет состоять из четырех цифр. Это не может быть цифра 5 (не получается 1 на предпоследнем месте). Пробуем 6 – годится. Имеем:

Рассуждая далее подобным же образом, находим, что множитель – 96.

Пять пятниц может быть в феврале високосного года (т. е. когда февраль имеет 29 дней). А именно если первая пятница будет 1 февраля, то

8 февраля………………… вторая пятница,

15 февраля………………. третья пятница,

22 февраля………………. четвертая пятница,

29 февраля………………. пятая пятница.

Итого в течение этого короткого месяца будет пять пятниц.

Всех семеро: четыре брата и три сестры. У каждого брата три брата и три сестры; у каждой сестры четыре брата и две сестры.

Всех детей семь: шесть сыновей и одна дочь. (Обычно же отвечают, что детей двенадцать; но тогда у каждого сына было бы шесть сестер, а не одна.)

Дело объясняется очень просто. Село за стол не четверо, а только трое: дед, его сын и внук. Дед и сын – отцы, а сын и внук – сыновья.

Рассчитать, сколько лет каждому, нетрудно. Ясно, что сын старше внука в 7 раз, а дед – в 12 раз. Если бы внуку был 1 год, сыну было бы 7 лет, деду – 12 лет, а всем троим вместе 20 лет. Это ровно в 5 раз меньше, чем на самом деле. Значит, в действительности внуку 5 лет, сыну 35 и деду 60.

Проверим: 5 + 35 + 60 = 100.

На удочку этой задачи легко попасться: можно думать, что если 5 землекопов в 5 часов вырыли 5 метров канавы, то для выкопки в 100 часов 100 метров понадобится 100 человек. Однако это совершенно неправильное рассуждение: понадобятся те же 5 землекопов, не больше.

В самом деле: 5 землекопов в 5 часов выкапывают 5 метров; значит, 5 землекопов в 1 час вырыли бы 1 метр, а в 100 часов – 100 метров.

Обычно отвечают, что каждый играл по одному разу, не соображая, что трое (и вообще нечетное число) игроков никак не могут играть каждый только по одному разу. С кем же тогда играл третий игрок? В каждой партии должны ведь участвовать два партнера. Если играли А, В и С и сыграно было три партии, то это значит, что играли