|PB|. (3.3)

Отсюда следует важное следующее равенство

|SA| + |PA| = |SB| + |PB|. (3.4)

Следовательно, правомерно записать и такое соответствие

SA U PA<=>SB U PB. (3.5)

Это значит, что объединение подмножеств SA и PA однозначно соответствуют объединению подмножеств SB и PB.

Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).

____________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

a1 n b1

Рис. 2

Запишем подмножество nchA. Оно будет

nchA ={15;13;11;9;7;5;3;1}.

Далее, подмножество nchB будет состоять из следующих элементов

nchB ={17;19;21;23;25;27;29;31}.

Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nchA| = |nchB| =8.

Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.

Получим

SA = {15;9}, PA = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |SA| =2, а |PA| =6.

Аналогично

SB = {21;25;27}, PB = {17;19;23;29;31}, при чем, |SB| =3, а |PB| =5.

Построим таблицу соответствия подмножеств nchA и nchB для данного примера, а фактически таблицу симметричных пар

Таблица 2

nchA

15

13

11

9

7

5

3

1

nchB

17

19

21

23

25

27

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Теперь построим таблицу соответствия нечетных составных и простых чисел

Таблица 3

nchA

15

13

11

9

7

5

3

1

SA

15

9

PA

13

11

7

5

3

1

nchB

17

19

21

23

25

27

29

31

SB

21

25

27

PB

17

19

23

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Анализ таблицы 2 и 3 показывает, что при δ=2,7,8 симметричными парами чисел являются исключительно простые числа (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. (1, 31), (3, 29), (13, 19).

Далее, рассмотрим случай числа n=32.

Подмножество нечетных чисел множества А и его мощность составляют

nchA ={31;29;27;25;23;21;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1}, |nchA| =16.

Подмножество составных нечетных чисел и его мощность составляет

SA ={27;25;21;15;9}, |SA| =5.

Подмножество простых чисел и его мощность составляет

PA={31;29;23;19;17;13;11;7;5;3;1}, |PA| =11.

Соответственно для подмножества В

nchВ ={33;35;37;39;41;43;45;47;49;51;53;55;57;59;61;63}, |nchВ| =16, а также подмножества составных нечетных и простых чисел.

Соответственно,

SВ ={33;35;39;45;49;51;55;57;63}, |SВ| =9,

PВ ={37;41;43;47;53;59;61}, |PВ| =7.

Таблица симметричных пар тогда будет

Таблица 4

nchA

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

SA

27

25

21

15

9

PA

31

29

23

19

17

13

11

7

5

3

1

nchВ

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

SВ

33

35

39

45

49

51

55

57

63

PВ

37

41

43

47

59

61

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Из таблицы 4 видно, что симметричными простыми парами в этом примере будут пары при δ=5,8,14,15 (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. пары (3, 61), (5, 59), (17, 47), (23, 41). Здесь же видим, что нечетные симметричные пары могут состоять также только из нечетных составных чисел δ=4,9,12 (в таблице подчеркнуты двойной чертой) (9, 55), (15, 49), (25, 39).

Следовательно, напрашивается вывод о том, что нечетные симметричные пары числа n могут состоять из:

1) нечетных составных и простых чисел (смешанные пары);

2) только нечетных составных чисел;

3) только простых чисел.

Дальнейший анализ числового ряда и составляющих симметричных пар с помощью подобных таблиц показывает, что при n→∞ можно составить такие неравенства

|SA|< |SВ|, (3.6)

и соответственно

|PA| > |PВ|. (3.7)

Оценку приведенных неравенств можно получить из следующих соображений.

Согласно оценке П.Л. Чебышева [2], уточняющую оценку Лагранжа [3], для больших значений n, число простых чисел в натуральном ряде достаточно точно оценивается следующим выражением

π(n) = n/ln(n), (3.8)

где ln – натуральный логарифм.

Тогда для числа 2n количество простых чисел будет равно

π(2n) = 2n/ln(2n). (3.9)

Используя выражения (3.8) и (3.9) можно записать

|PA|= π(n), а (3.10)

|PB|= π(2n) – π(n). (3.11)

Для того чтобы определить справедливость неравенства |PA| > |PВ| исследуем разность

|PA| – |PВ| = π(n) – π(2n) + π(n) = 2π(n) – π(2n). (3.12)

Далее раскрывая (3.12) с учетом (3.8) и (3.9), имеем

2n/ln(n) – 2n/ln(2n) = 2n(1/ln(n) –1/ln(2n)). (3.13)

Так как ln(2n) = ln2 + ln(n), то очевидно, что в выражении (3.13)

ln(2n) > ln(n). (3.14)

Учитывая полученное неравенство (3.14) имеем

1/ln(n) > 1/ln(2n). (3.15)

Отсюда получаем положительную следующую разницу

|PA| – |PB| > 0, (3.16)

что доказывает справедливость утверждения (3.7).

Исходя из (3.3) и (3.4) легко получается следующее равенство

|SB| – |SA| = |PA| – |PB|. (3.17)

Тогда с учетом (3.16) получаем

|SB| – |SA| > 0, (3.18)

что доказывает справедливость утверждения (3.6).

Теперь же особый интерес представляет способ формирования симметричных простых пар.

4. Таблица симметричных простых пар чисел

Для более глубокого понимания механизма образования симметричных простых пар чисел построим следующую таблицу.

В таблице в первой строке и первом столбце P1 обозначения простых чисел, стоящих во второй строке и втором столбце по порядку. А во второй строке и втором столбце стоят сами простые числа по порядку. На пересечении столбца и строки в таблице находится число 2n, по которому образуется симметричная простая пара. Очевидно, что таблица симметрична относительно диагонали.

Таблица 5

dp 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1

P1

P2

P3

P4

P5

P