Тогда, согласно (2.7) мощности нечетных чисел nchA и nchВ равны, откуда с учетом (5.4) запишем

|PВ| + |ŚA|+ |PA| = |PA| + |ŚВ| +|PВ|. (5.5)

Не трудно показать, что при данном предположении должно выполняться следующее равенство

|ŚA| = |ŚВ|. (5.6)

Поэтому, рассмотрим значение |ŚA|, а затем распространим его на |ŚВ|.

Не трудно видеть, что в этом случае количество нечетных чисел левой и правой полуоси натурального ряда должны быть равны

|nchA| = |nchВ| = |SA| + |PA| = |SВ| + |PВ| = n/2. (5.7)

Тогда, согласно (5.4) и (5.5) имеем

|PВ| + |ŚA|+ |PA| = n/2. (5.8)

Отсюда

|ŚA| = n/2 – (|PВ| + |PA|). (5.9)

Учитывая выражения (3.10) и (3.11) перепишем (5.9)

|ŚA| = n/2 –π(2n). (5.10)

Подставляем в (5.10) значения из (3.8) и получаем оценку симметричных пар, включающих только нечетные составные числа

|ŚA| = n/2 – 2n/ln(2n). (5.11)

Рассмотрим предел функции (5.11) при n→∞

lim(|ŚA|) = lim(n/2 – 2n/ln(2n)). (5.12)

n→∞ n→∞

Согласно свойствам пределов имеем

lim(n/2) lim(1 – 4/ln(2n)) = 1/2 lim(n) = n/2 (5.13)

n→∞ n→∞ n→∞

Таким образом, получаем противоречие, заключающееся в том, что при стремлении n в бесконечность число нечетных составных чисел будет существенно больше простых.

2) Множество SA должно полностью соответствовать множеству PB, т.е. |SA| = |PВ|. Аналогично, множество SB должно полностью соответствовать множеству PA, т.е. |SВ|=|PA|.

Далее из (5.3) имеем, |PA| > |PВ|, |SA| < |SВ| и |SA| > |PA|, |SВ| > |PВ|.

Но так как |SA| = |PВ| и одновременно |PA| > |PВ|, то отсюда следует, что должно быть |PA| > |SA|, что противоречит начальному условию (5.3).

Следовательно, предположение, что множество PA и множество PB не пересекаются по симметричным парам, то есть PA ∩ PB ≡ Ø неверно и это доказывает, что найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел для представления данного четного числа.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных составных чисел.

Доказательство. Согласно доказанной теореме 3 любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Рассмотрим множество нечетных чисел nchA меньших n и множество нечетных чисел nchB больших n и меньших 2n, т.е.

{nchA} < n;

n < {nchB} < 2n. (5.14)

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств симметричных составных нечетных и простых чисел, таких что

nchA = SA U PA и nchB = SB U PB.

Далее, согласно (3.2) мощности указанных множеств равны, т.е. |nchA| = |nchB|. При этом, в соответствии с (3.3) равны и суммы мощностей подмножеств симметричных нечетных составных и простых чисел обеих множеств, т.е. | nchA | = |SA| + |PA| и |nchB| = |SB| + |PB|.

Заметим, как показано выше, что имеется однозначная функциональная зависимость между элементами указанных двух множеств, а именно каждому элементу из множества nchA найдется единственный элемент в множестве nchB, или в символьной записи nchAi→nchBi.

Рассмотрим теперь два подмножества симметричных нечетных составных чисел SA и SB.

Допустим, что утверждение теоремы неверно, т.е. не существует двух симметричных нечетных составных чисел из SA и SB, или иначе говоря, подмножество функциональной зависимости пусто или SAi→ SBi = Ø.

Тогда, если во множествах SA и SB не нашлось ни одной симметричной пары нечетных составных чисел, то, следовательно, с учетом (5.3) мощность множества SA должна быть равна мощности множества PB, т.е. |SA| = |PB|. Аналогично рассуждая для множества должно выполняться и следующее равенство |SB| = |PA|. В этом случае применяя рассуждения теоремы 2 можно прийти к противоречию, т.е. к тому, что |PB|> |SA|, а это противоречит начальному условию (5.3). Теорема доказана.

6. Сильная гипотеза Гольдбаха и теорема Гольдбаха-Эйлера

Доказанные в предыдущем разделе теоремы вплотную подводят нас к сильной или бинарной гипотезе Гольдбаха [1], которую также сформулировал Эйлер [4] и которая гласит: любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел. Как показано выше, приведенные исследования в общем виде бинарная гипотеза Гольдбаха не совсем верна, так как сумма двух любых простых чисел будет соотноситься только к числу, которое получается делением четного числа на 2.

Запишем данное утверждение не в виде гипотезы, а в виде теоремы.

Исходя из сказанного, сформулируем сильную или бинарную теорему Гольдбаха-Эйлера в следующем виде:

Теорема 6 (сильная или бинарная). Любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел и только таких, которые являются симметричной парой простых чисел соответствующей числу вдвое меньшему самого четного числа.

Доказательство этой теоремы найдем в доказательстве теоремы 5.

Следует заметить, что иных разложений четного числа в виде суммы простых чисел не существует. Это следует из материалов раздела 5.1 и 5.2.

7. Проблема представления любого числа в виде суммы нескольких простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)

С использованием симметричных простых чисел, может быть и решена тернарная проблема Гольдбаха, сформулированная им в 1742 году. Его предположение, что всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых, решается следующим способом.

7.1. Представление нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел.

Представим нечетное число в виде

nch=2n+1. (7.1)

Тогда, используя результаты, полученные в разделе 5, можно записать следующее представление

2n=p1+p'2, (7.2)

где p1, p'2 – симметричная пара простых чисел.

Подставив (7.2) в (7.1) получим

nch= p1+p'2+1. (7.3)

Очевидно, что p'2+1 является четным числом и, следовательно, к нему также можно применить разложение в виде суммы двух чисел, т.е.

p'2 + 1= p2 + p3, (7.4)

где p2, p3 – симметричная пара простых чисел.

Далее подставляя (7.2), (7.3) и (7.4) в (7.5) окончательно получаем

nch= p1+ p