где

δi=(pi+1 – pi)/2;

i=1,2,3, …. k – номер столбца или строки в таблице 5;

* – символ, обозначающий индексы по всей строке или столбцу.

И, наконец, исследуя симметричные числа либо на числовой оси (см. рис. 2) либо по таблице 5 можно выделить еще одно их свойство. Это относиться к тем арифметическим прогрессиям, которые они образуют. Выразим это свойство следующим утверждениями.

Утверждение 1. Любое число n натурального ряда больше 1 равно среднему арифметическому симметричных пар этого числа.

Доказательство данного утверждения очевидно и следует из выражения (1.5).

Из данного свойства вытекает и последующее свойство симметричных пар чисел, сформулированного в утверждении 2.

Утверждение 2. Любое число n натурального ряда больше 1 и принадлежащие ему симметричные пары числа являются членами арифметической прогрессии.

Доказательство указанного утверждения также очевидно и вытекает из выражений (1.7), (2.2).

Утверждение 3. Симметричная пара любого числа n больше 1 состоит из симметричных пар либо только четных, либо только нечетных чисел.

Доказательство.

Согласно (1.3) имеем:

a=n – δ

b=n + δ,

где δ=1,2… n.

Отсюда следует, что для любого числа n пара чисел a и b будут иметь одинаковую четность, т.е. одновременно являются либо четными, либо нечетными, так как арифметические операции «+» и «–» являются однотипными.

5. Обобщающие выводы и четыре теоремы

Предыдущие разделы работы подвели к общим выводам представления четных чисел суммой двух других.

Исходя из вышеописанного можно сделать предположение, что любое четное число больше двух представимо одновременно в виде суммы двух чисел в следующих сочетаниях:

1) суммой симметричных пар четных чисел;

2) суммой симметричных пар нечетных чисел;

3) суммой симметричных пар нечетных составных чисел;

3) суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательства сделанных утверждений подготовлены в предыдущих разделах, а некоторые фактически уже доказаны.

Однако приведем доказательства по каждому из данных утверждений в виде теорем.

Теорема 2. Любое четное число натурального ряда представимо суммой симметричных пар четных чисел.

Доказательство. Из определения самого натурального числа, леммы 1 и теоремы 1, следует, что любое натуральное число k большее 1 имеет k симметричных пар чисел ai и bi, таких, что их среднеарифметическое равно самому числу.

Действительно, если рассмотрим число k, а также его симметричные пары ai и bi, то их среднеарифметическое будет

(ai + bi)/2 = k. (5.1)

Но согласно (1.3) симметричные пары чисел можно записывать следующими выражениями ai = k – i, bi= k + i, то такие пары чисел при i = δ = 1, 2, 3, …… n.

Следовательно, их сумма будет удовлетворять выражению (5.1) и при этом будут симметричными.

Но так n = 2k , то отсюда следует, что любое четное число n представимо k парами симметричных чисел, таких что

ai + bi = 2k . (5.2)

Из выражения (5.2) также следует, что, так как в правой части стоит четное число, то сумма в левой части должна быть четной. В силу этого числа ai и bi должны быть одновременно либо четными, либо нечетными. Из свойств чисел натурального ряда следует, в силу утверждения 3, что симметричные числа ai и bi являются либо только четными, либо только нечетными.

Очевидно, что при k>1, из k симметричных пар, найдется хотя бы одна пара, в которой ai и bi являются только четными.

Из этого вытекает, что в множествах A и B да найдется хотя бы одна пара четных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему.

Теорема 3. Любое четное число натурального ряда больше 1 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Доказательство. Запишем четное число в виде n = 2k. Тогда из доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой ai + bi = 2k. Очевидно, в силу утверждения 3, при k>1 найдется симметричная пара, в которой ai и bi являются только нечетными.

Из этого вытекает, что во множествах A и B да найдется хотя бы одна пара нечетных симметричных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему

Из свойств ряда натуральных чисел доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой нечетных чисел.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательство. Рассмотрим множество нечетных чисел nchA меньших n, и множество нечетных чисел nchВ больших n и меньших 2n, т.е. |nchA| < n; n <|nchA| < 2n.

Согласно доказательству в теореме 3 для любого числа n больше 2 найдутся симметричные пары нечетных чисел a и b.

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств нечетных составных и простых чисел, таких что

nchA = SA U PA, nchВ = SB U PB, |SA| + |PA| = |SВ| + |PВ|, |PA| > |PВ|, |SA| < |SВ|. (5.3)

В предыдущей теореме 3 было доказано, что из двух множеств A и B найдется пара a и b такая, что в этой паре числа будут четные или нечетные.

Рассмотрим далее два множества простых чисел PA и PВ.

Допустим, что для числа n из всей совокупности симметричных пар (a, b) не нашлось ни одной симметричной пары простых чисел, то есть в паре (a, b) элементы не являются простыми числами. Это значит, что множество PA и множество PB не пересекаются по симметричным парам, то есть PA ∩ PB ≡ Ø.

Так как, в силу (2.7) и (5.3), |nchA | = |nchВ|, и nchA = SA U PA, nchВ = SB U PB, а во множествах PA и PB не нашлось ни одного симметричного числа, то, следовательно, если |PA| ≠ 0 и |PB| ≠ 0, то возможно два варианта:

1) Множество SA должно включать некое подмножество ŚA, которое должно полностью соответствовать множеству PB, т.е. SA = PВ U ŚA. Аналогично, множество SB должно включать некое подмножество ŚВ, соответствующее множеству PA, т.е. SВ = PA U ŚВ. В этом случае должны выполняться следующие равенства

|SA| =