недостаточно редко, чтобы их вероятность можно было игнорировать (см., например, теорию «Черного Лебедя» Нассима Талеба, 2015). И такая «склонность к катастрофам» оказывается еще одной отличительной особенностью описываемых динамических систем, лежащих на грани хаоса и самоорганизованности, и спонтанно приобретающих сложность. Математически показано, что возможность сведения объекта к простой сумме его элементов исключает масштабную инвариантность и, соответственно, склонную к катастрофам статистику распределений. В неравновесных системах с такими статистиками малые причины обладают способностями приводить к непропорционально большим последствиям, что является аналогом пригожинского описания непредсказуемости поведения систем со странными аттракторами в точках бифуркаций.

Важно заметить, что возникновение и развитие катастрофических событий обусловливается согласованным поведением частей системы, что возможно лишь при наличии у системы целостных свойств. Подобное согласованное поведение также может быть в некоторой степени описано как кооперативное в рассмотренных ранее терминах информационных и энтропийных теорий.

Но описания сложных систем в рамках концепций самоорганизации и хаоса не оперируют понятиями целостности системы, когда к «чувству себя» добавляется «чувство своего» и способность системы долго «помнить» это. То есть само по себе возникновение сложности не ведет к возникновению целостности. Более того, целостность оказывается бесполезной в отсутствии «грубости» свойств системы, то есть устойчивости названных качественных свойств и особенностей системы к воздействию незначительных изменений или модификации ее устройства (которые, в свою очередь, обеспечивают ее развитие и в конце концов адаптационную устойчивость системы в изменяющемся контексте окружающей среды), что, например, в определенной мере относится к моделям, предложенным Д. С. Чернавским и другими. В какой-то степени удовлетворительные ответы на эти вызовы дает теория самоорганизованной критичности (СОК), разрабатываемая с конца 80-х годов, когда понятие СОК впервые было введено Пером Баком, Чао Тангом и Куртом Визенфельдом (Bak P., Tang C. and Wiesenfeld K., 1987). ОП!

Выражение «строить на песке» обычно относится к конструкциям, чаще мыслительным, которые представляются неустойчивыми, крайне хрупкими и ненадежными. Выглядит парадоксальным, но одна из самых обоснованных теорий возникновения и эволюционирования сложности возникла практически буквально на песке: одной из ее первых и до сих пор наиболее часто упоминаемых и используемых моделей служит модель кучи песка. Модель достаточно удобна и наглядна, что позволит воспользоваться ею и для демонстрации явлений эволюционного развития, болезней и здоровья, то есть основных предметов рассмотрения данной книги.

Представим себе черноморское побережье Грузии, летний пляж где-нибудь в районе гурийского поселка Уреки. Дети строят пирамиду из местного замечательного серо-черного «магнитного» песка. И мы для математической модели тоже возьмем этот серо-черный, но слегка идеализированный песок, состоящий из одинаковых песчинок с достаточно большим сцеплением между друг другом, но без инерции движения (рис. 12).

Рис. 12. Куча песка – модель самоорганизованной критичности

Сверху по одной ссыпаются песчинки. При этих условиях постепенно образующийся наклон Z определяет состояние кучи как системы: если локальный наклон становится больше некоего порога устойчивости, песчинки пересыпаются ниже, где могут остановиться, но могут и продолжить движение, вовлекая в движение новые песчинки. Но пока куча мала, воздействие одной песчинки не может оказать влияние на кучу в целом: она представляет собой пока просто совокупность отдельных песчинок при отсутствии между их значительным количеством существенных связей.

Если куча вырастает и средний наклон достигает некоего значения Zc, то он уже не может расти дальше – среднее количество добавляемого песка соответствует его количеству, падающему через край. Система достигает стационарного состояния: среднее количество песка и средняя крутизна постоянны по времени. И для поддержания такого баланса части системы должны уже быть взаимосвязаны. Время от времени возникает сход лавины – ток песка J, непропорционально увеличивающийся с ростом Z. Физически это можно назвать непрерывным фазовым переходом, в котором наклон Z выполняет роль управляющего параметра, а ток песка становится параметром порядка. Причем как при значениях Z < Zc, так и значениях Z > Zc система обладает устойчивым, некатастрофическим поведением, но принципиально отличающимся: в первом случае она хаотична, во втором – более упорядочена.

В отношении открытой динамической системы сложно говорить о точных значениях энтропии, но можно полагать, что в первом случае вклад системы в общий рост энтропии увеличивается, а во втором – уменьшается. При значениях Z около Zc система приобретает новое свойство критического состояния: система в общем находится в стационарном состоянии, но если до этого любая новая песчинка катилась только по собственной локальной динамике, то теперь она может вызвать лавину любого размера – от совсем маленькой, до «катастрофической», то есть динамика приобретает всеобъемлющий характер, и в этом смысле в этом момент система «самоорганизуется» или переходит в состояние «самоорганизованной критичности». И эту всеобъемлющую динамику невозможно никоим образом предсказать на основании свойств отдельных песчинок. Распределение лавин по объему будет следовать степенной динамике, с заметной вероятностью «катастрофических» событий, но останется абсолютно непериодическим и непредвиденным. В целом это поведение можно описать как прерывистое равновесие, когда спокойные периоды роста сменяются лавинными событиями. В определенном смысле эти фазы можно сопоставить с чередованием динамических и хаотических стадий в модели Д. С. Чернавского.

Однако, в отличие от этой модели, куча песка в модели самоорганизованной критичности является открытой динамической системой – в нее входят и из нее выходят песчинки, через систему идет поток энергии: при падении и скатывании песчинок их потенциальная энергия преобразуется в кинетическую, которая при остановке песчинок рассеивается, переходит в тепло, частично поглощаемое кучей, частично рассеивающееся, происходит диссипация энергии. Этот поток энергии способен достаточно долго поддерживать критическое состояние системы.

Данная модель обладает устойчивостью в отношении возможных модернизаций, изменений параметров системы, то есть грубостью. И это является важнейшей особенностью концепции самоорганизованной критичности, принципиально отличающей ее от большинства других модельных концепций. Изменение какого-то из параметров, например замена «сухого» песка на «влажный», то есть изменение силы сцепления между частицами приведет к некоторым изменениям в масштабе времени и масштабе лавин, но в итоге все также вернет систему в критическое состояние. Расстановка в куче искусственных заслонов также изменит внешний вид кучи, временно – ее динамику, но в итоге куча неизбежно вернется в критичность.

Несмотря на сравнительную простоту математического описания этой физической модели (например, в понятиях клеточных автоматов (Dhar D. and Ramaswamy R., 1989), как и большинства других моделей самоорганизованной критичности, создание математической аналитической теории, способной предсказать поведение системы и дать достаточно глубокое понимание сути происходящего, как, например, в теории динамического хаоса или фазовых переходов в динамических системах, оказывается крайне сложным.

Поэтому пока приходится довольствоваться скорее эмпирическими теориями самоорганизованной критичности, позволяющих тем не менее достаточно удовлетворительно описывать как