37. Sornette A., Sornette D. (1989). Self-organized criticality and earthquakes. Physical Review Letters 9, 197.

38. Ito K., Matsuzaki M. (1990). Earthquakes as self-organized critical phenomena. J of Geophysical Research B 95, 6853.

39. Carlson J. M., Langer J. S. (1989). Physics of earthquakes generated by fault dynamics. Physical Review Letters 62, 2632.

40. Adami C. (1995). Self-organized criticality in living systems. Physical Letters A 203, 29.

41. Ito K. (1995). Punctuated equilibrium model of biological evolution is also a self-organized critical model of earthquakes. Physical Review E 52, 3232.

42. Bak P., Sneppen K. (1993). Punctuated equilibrium and criticality in a simple model of evolution. Physical Review Letters 24, 4083.

43. Vanderwalle N., Ausloos M. (1995). Self-organized criticality in phylogenic tree growths. Journal de physique I France, 5, 1011.

44. Sneppen K., Trusina A., Jensen M. H., Bornholdt S. (2010). A Minimal Model for Multiple Epidemics and Immunity Spreading. PLoS ONE 5(10): e13326.

45. Contoyiannis Y., Stavrinides S. G., Hanias M. P., Kampitakis M., Papadopoulos P., Potirakis S. (2020). Self-Organized Criticality in an Epidemic Spread Model, preprint.

46. Stassinopoulos D., Bak P. (1995). Democratic Reinforcement. A Priciple for Brain Function. Physical Review E51, 5033.

47. Carlson J. M., Doyle J. (1999). Highly optimized tolerance: a mechanism for power laws in designed systems. Phys. Rev. E Stat. Phys. Plasmas Fluids Relat. Interdiscip. Topics 60, 1412–1415.

48. Allen B., Stacey B. C., Bar-Yam Y. (2014). An information-theoretic formalism for multiscale structure in complex systems, arXiv:1409.4708.

49. Bar-Yam T., Lynch O., Bar-Yam Y. (2018). The Inherent Instability of Disordered Systems. arXiv: Physics and Society.

Глава VI. Первая цифровая трансформация

Появление смысла в психоанализе подобно внезапному появлению на поверхности острия швейной иглы, пронизывающей и соединяющей несколько слоев пережитого.

Жак Лакан, французский психоаналитик, философ

Эргодичность и неэргодичность: разные исходы для русской рулетки

Рассмотрение материальных основ биологической самоорганизации и сложности представляется наилучшим начать с краткого, насколько возможно, рассмотрения понятий эргодичности и неэргодичности динамических систем. Обсуждая в предыдущей главе второе начало термодинамики и энтропийную теорию, указывалось, что в формуле Больцмана для энтропии описывается средняя энтропия системы, то есть взятая из совокупности всех возможных микросостояний системы. Но эти микросостояния могут быть взяты двумя способами: временным, когда система в течение неограниченного времени «естественным образом» проходит их по какой-то траектории одно за другим, и ансамблевым, когда все возможные состояния берутся сразу.

Некоторым примером может служить вычисление среднего значения игральной кости: один игрок может некоторое, достаточно большое, число раз подбросить одну игральную кость (временной подход) или несколько игроков могут одновременно подбросить свои кости и сосчитать среднее (ансамблевый подход). В самом общем случае эргодическими (то есть обладающими эргодичностью) системами называют такие, в которых временное и ансамблевое среднее равны, а неэргодическими – в которых они различаются.

Современные статистическая физика и термодинамика, условно начиная с Больцмана и Гиббса (а точнее – с их наиболее известных интерпретаторов – Пауля и Татьяны Эренфестов (Ehrenfest P. And Ehrenfest T., 1911), исходят из эргодичности рассматриваемых систем. Вообще, тотальный отказ от этого принципа может привести к довольно серьезным последствиям – например к пересмотру, или, по крайней мере, корректировке второго начала термодинамики, понятия энтропии и закона ее всеобщего нарастания. В любом случае современная статистическая физика вполне признает возможность существования и неэргодических систем в первую очередь для таких ситуаций, в которых вероятность достижения некоего микросостояния определяется всей предыдущей историей (траекторией микросостояний).

Рассмотренной концепции динамического хаоса в системах со странными аттракторами образуется множество переплетений траекторий состояния системы, создающих множества бифуркаций, и поведение системы в этих точках оказывается зависимым от совокупности всех предыдущих состояний системы и в условиях практической невозможности их вычислить – непредсказуемым, то есть случайным.

Системы самоорганизованной критичности (СОК) также безусловно неэргодические. К неэргодическим могут быть отнесены и все биологические и социальные системы, хотя бы из представления о необратимости ключевых биологических процессов: игра в русскую рулетку ансамблевым и временным способами даст очевидно совершенно различные результаты. Зависимость динамики неэргодических систем от совокупности своих предыдущих состояний, своей истории, может быть названа своеобразной памятью системы. Но неэргодичностью обладают и некоторые неорганические структуры. Так, впервые Robert Laughlin и David Pines (2000), а впоследствии и более пристально Евгений Кунин, Михаил Каценельсон и Юрий Вольф (Wolf Y.I., Katzenelson M.I., Koonin E.V., 2018) обращают внимание на исключительную похожесть стеклообразных и биологических систем: их объединяют стохастичность/неэргодичность, с одной стороны, и фундаментальная сложность, с другой. С учетом свойственного обоим видам систем эволюционного развития по типу прерывистого равновесия они одинаково могут быть описаны как примеры систем СОК.

Если рассматривать стеклообразные структуры, то есть структуры, находящиеся в динамической промежуточной форме между равновесным и неравновесным состояниями, то их ведущей особенностью можно назвать феномен «старения» или структурной релаксации, как выражение этого переходного состояния. Материалы в равновесном состоянии сохраняют неизменность физических свойств после, например, фазовых переходов: вода после циклов замораживания – оттаивания будет иметь абсолютно одну и ту же теплоемкость. Для стекла некоторые физические параметры будут в похожих случаях изменяться, хоть и очень незначительно: стекло в ходе, например, своей тепловой эволюции будет каждый раз находить новый минимум потенциальной энергии, отличающийся от предыдущего.

К сожалению, на данный момент не существует еще общепризнанной полной теории стекла (стеклообразного состояния). Определенную полноту представлений дает модель спиновых стекол Шеррингтона-Киркпатрика (Kirkpatrick S. and Sherrington D., 1978). Модель описывает систему, состоящую из некоторого большого числа элементов – спинов, принимающих значения +1 или -1 и попарно взаимодействующих совершенно случайным образом. Изначально модель предназначалась для интерпретации необычных фазовых состояний в физике, например разбавленных магнитных сплавов – немагнитных материалов с магнитными примесями, где между магнитными ионами возникают неупорядоченные дальнодействующие электрон-опосредованные взаимодействия, а необычные свойства определяются конкуренцией ферромагнитных и антиферромагнитных взаимодействий. Однако оказалось, что она довольно точно описывает общую схему попарных взаимодействий, в том числе вне физики, например в теориях нейронных сетей (Hopfield J. J., 1982) или биологической эволюции (Holland J. H., 1992; Редько В. Г.,1990).

В самом общем виде, согласно модели Шеррингтона-Киркпатрика, текущее состояние стекла может быть определено одним «параметром порядка», представляющим собой последовательное описание в двоичной форме эволюции системы через ее выборы энергетического состояния в точках бифуркации. Вообще, материалы со свойствами спиновых стекол характеризуются медленным достижением состояния равновесия (если вообще достигаемым), нарушением эргодичности, возможностью фазового перехода и попадания в состояние фрустрации (см. ниже).

Для более общего описания