[4] (7) Четвертый же род противолежащего — из утверждения и отрицания (ex confirmatione et negatione), как, например, «Сократ говорит», «Сократ не говорит». Утверждение и отрицание тем отличаются от вышеназванных, что о тех можно говорить поодиночке, об этих же нельзя говорить иначе, как вместе. С этим четвертым родом у диалектиков связан большой спор, и он называется ими «полною противоположностью», так как третьего не принимает[449]. (8) Ведь некоторые [противолежащие] первого рода могут иметь третье, как «белое» и «черное»; третье у них — ни белое, ни черное, а «серое» или «бледное». Также и для соотнесенных, как у «большого» и «маленького»; третье у них — ни большое, ни маленькое, а «среднее». Для обладания и лишенности — как у «зрения» и «слепоты»; третье у них — ни зрение, ни слепота, а «подслеповатость». Здесь же либо «говорит», либо «не говорит», ничего третьего нет.

Книга III. О четырех математических дисциплинах

Предисловие

Математика (mathematica) по латыни называется научным знанием (doctrinalis scientia)[450], которое рассматривает отвлеченное количество. Ведь отвлеченным (abstracta) называется такое количество, которое мы посредством ума отделяем от материи или от другого привходящего, такого как четное и нечетное, или от тому подобного, [и затем] имеем в одном только рассуждении. У нее четыре вида: арифметика, геометрия, музыка и астрономия. Арифметика есть наука о числовых количествах самих по себе. Геометрия есть наука о величинах и формах. Музыка есть наука, которая говорит о таких числах, которые открываются в звуках. Астрономия есть наука, которая рассматривает движения небесных созвездий и их фигуры, а также обращения (habitudo) светил[451]. О каковых дисциплинах мы далее скажем немного подробнее, чтобы их значения (causae) могли быть показаны надлежащим образом.

Титул I. Об арифметике

Глава I. О наименовании науки арифметики

Арифметика (arithmetica) есть наука о числах, ведь греки называют число αριθμός[452]. Ее писатели светских сочинений установили первой среди математических наук потому, что она не нуждается ни в какой другой науке, чтобы быть. (2) Музыка же и геометрия, и астрономия, которые следуют [за нею], нуждаются в ее помощи, чтобы быть и оставаться [собою] (subsistere).

Глава II. О ее создателях

Утверждают, что науку о числе у греков первым записал Пифагор, а затем она была расширена Никомахом[453]. У латинян ее перевел первым Апулей, затем — Боэций[454].

Глава III. Что есть число

Число (numerus) есть множество, составленное из единичностей (unitas), ведь одно — это семя числа, а не число[455]. Числу имя дала монета (nummus), и ввела [это] слово из-за своего частого употребления. [Число] один (unus) ведь получило имя от греческого [языка], ибо греки называют один ἑ᾿ να[456], также и два (duo) и три (tres), которые у них называются δύο и τρία. (2) Четыре (quattuor) же взяло имя от [геометрической] фигуры квадрата, а пять (quinque) получило имя не по природе, а по произволению того, кто вводил имена для чисел. Шесть (sex) же и семь (septem) идут от греческого [языка]. (3) Ведь во многих именах, которые в греческом имеют придыхание [вначале], мы ставим вместо придыхания S, потому и [говорим] «sex» (шесть) вместо ἑ᾿ ξ, «septem» (семь) вместо ἑ᾿ πτά, как и «serpillum» (тимьян) вместо ἑ᾿ ρπυλλος. Восемь (octo) же из-за перенесения какое у них [οκτώ], такое и у нас; так же у них — εννέα, у нас — девять (novem), у них — δέκα, у нас — десять (decern). (4) Десять же названо по греческой этимологии, потому что связывает и сочетает лежащие ниже числа. Ведь у них δεσμός — связывать или сочетать. Далее, двадцать (viginti) названо так потому, что это дважды возникшее (bis geniti) десять, где вместо буквы В поставлена V. Тридцать (triginta) — потому что возникает (gignantur) от тройной десятки, и так далее до девяноста (nonaginta). (5) Сто (centum) же названо от колеса (canthus), то есть окружности. Двести (ducenti) — от двух сотен, и так далее до тысячи. Тысяча (milia) же — от multitudo (множества), откуда и militia (армия), — это как бы multitia (многие). Отсюда и тысяча, которую греки, изменив букву, называют μυριάς[457].

Глава IV. Что числа представляют

Значением (ratio) чисел нельзя пренебрегать. Ведь во многих местах Священных Писаний оказывается, что они обладают[458] величайшей таинственностью. Не напрасно ведь в прославлениях Бога сказано: «Ты сотворил все в [соотвествующей] мере и числе, и весе» (Прем. Сол., 11:21). (2) Ведь шестерка, совершенная в своих частях[459], некоторым значением своего числа показывает совершенство мира. Также и сорок дней, в течение которых постились Моисей и Илия, и сам Господь, невозможно понять без знания числа. (3) В священных писаниях существуют эти и другие числа, значения (figurae) которых могут разрешить только сведущие в науке этого искусства. Также нам дано в некоторой части зависеть от науки чисел, поскольку с ее помощью мы часы [дня и ночи] определяем, поскольку мы бег месяцев рассчитываем, поскольку мы время возвращающегося года[460] узнаем. (4) Число наставляет нас, чтобы мы не путались. Убери число из всех вещей, и все погибнет. Отними у неба [мира] счет, и все будет охвачено мраком полного неведения, и невозможно будет отличить от прочих животных того, кто не знает способа (ratio) счета.

Глава V. О первом разделении [чисел: на] четные и нечетные

Числа разделяются на <следующие:> четные и нечетные[461]. Четное число разделяется на четно-четное, четно-нечетное и нечетно-четное. Нечетное число делится на следующие: «первое» и простое, «второе» и составное, «третье» среднее, которое некоторым образом есть «первое» и несоставное, а другим образом — «второе» и составное.

(2) Четное (par) число есть такое, которое можно разделить на две равные части, как II, IV, VIII.[462]

Нечетное (inpar) же число есть такое, которое разделить на две равные части невозможно, имеющее единицу в середине, из-за которой [оно для такого деления] или слишком мало, или слишком велико, как III, V, VI, IX и прочие[463].

(3) Четно-четное (pariter par) число[464] — такое, которое делится пополам на четные числа до тех пор, пока не появятся неделимая [нацело] единица (unitas), как, например, LXIV, которое имеет половиною