[число] один, которое есть третья часть трех. Далее если сравнить V с IV, то оно имеет в себе четверку и еще [число] один, про которое говорят, что оно четвертая часть четверки. И тому подобное.

(8) Суперпартиентное (superpartiens)[475] число есть такое, которое заключает в себе всё меньшее число и сверх этого еще II или III, или IV, или V, или больше его частей. Как, например, если сравнить V с III, пятерка содержит в себе тройку и сверх этого еще II её части; если сравнить VII с IV, то оно содержит в себе IV и еще III его части; если сравнить IX с V, то оно содержит в себе V и еще IV его части.

(9) Субсуперпартиентное (subsuperpartiens)[476] число есть такое, которое заключается в числе суперпартиентном вместе с еще двумя или тремя, или многими своими частями. <Как,> например, III содержится в V с еще II своими частями, V — в IX с IV своими частями.

(10) Субсуперпартикулярное (supsuperparticularis)[477] число есть такое, которое заключается в большем (fortior) числе с еще одною своею частью — или половиною, или третьею, или четвертою, или пятою [и т. д.]. Как, например, II к III, III к IV, IV к V и так далее.

(11) Многократно суперпартикулярное (multiplex superparticularis)[478] число есть такое, которое, если сравнить его с меньшим по отношению к нему числом, заключает в себе все меньшее число многократно с еще одной его, [меньшего числа,] частью. Как, например, если сравнить V с II, то оно заключает в себе дважды II, [то есть] IV, и одну [вторую] его часть; если сравнить IX с IV, оно заключает в себе дважды IV, [то есть VIII], и одну [четвертую] его часть.

(12) <Многократно субсуперпартикулярное (submultiplex subsuperparticularis)[479] число есть такое, которое, если сравнить его с большим по отношению к нему числом, заключается в нем многократно с еще одною своею частью. Как, например, если сравнить II с V, оно заключается в нем дважды с еще одною [второю] своею частью.>

Многократно суперпартиентное (multiplex superpartionalis/superpartiens)[480] число есть такое, которое, если сравнить его с меньшим по отношению к нему числом, заключает его многократно с другими его частями. Как, например, если сравнить VIII с III, то оно заключает в себе дважды III и еще II его [третьи] части; если сравнить XIV с VI, то оно заключает внутри себя дважды VI с еще II его [шестыми] частями; <если сравнить XVI с VII, то оно содержит его [VII] дважды с еще II его [седьмыми] частями; если сравнить XXI с IX, то оно заключает в себе дважды IX с еще тремя его [девятыми] частями>.

(13) Многократно субсуперпартиентное[481] (submultiplex subsuperpartionalis/subsuperpartiens)[482] число есть такое, которое если сравнить его с большим по отношению к нему числом, заключается в нем многократно с другими своими частями, как, например, III к VIII — оно заключается [в восьмерке] дважды с II [третьими] своими частями; IV к XI — заключается дважды с III [четвертыми] своими частями.

Глава VII. О третьем разделении всех чисел

Числа бывают либо дискретными, либо непрерывными. Последние подразделяются так: линейные, поверхностные и телесные[483].

Дискретное (discretus) число есть такое, которое состоит из отдельных монад, как, например, III, IV, V, VI и так далее.

(2) Непрерывное (continens) число есть такое, которое состоит из связанных монад, как, например, [когда] тройку понимают в [протяженной] величине (magnitudo)[484], то есть [когда] говорят, что она содержится в линии или в пространстве (spatium), или в теле (solidus); также четверка и пятерка.

(3) Линейное (linealis) число есть такое, которое, начиная из монады [точки], рисуют в виде линии до бесконечности. Поэтому [буква] альфа используется для обозначения линий, ведь эта буква у греков обозначает [число] один.

(4) Поверхностное (superficialis) число есть такое, которое заключается не только в длине, но и в ширине, как треугольное, квадратное, пятиугольное и круглое число и так далее, которое всегда содержится на ровной поверхности, то есть на плоскости. Треугольное (trigonus) число есть такое:

Квадратное (quadratus) число[485] есть такое:

Пятиугольное (quinqueangulus) число есть такое:

(5) Циклическое (circularis) число[486] есть такое, которое, умножаясь подобным образом, с себя начинается и к себе возвращается, как пять раз по пять — XXV, вот так:

Телесное (solidus) число есть такое, которое заключается в длине, ширине и высоте, как [например] пирамиды (pyramides), поднимающиеся как пламя[487], вот так:

(6) Куб (cubus), подобный игральным костям, такой:

Сферы (sphaera), в которых есть повсюду равная округлость, такие:

А сферическое (sphaericus) число есть такое, которое, будучи умноженным циклическим числом, с себя начинается и к себе возвращается. [Например] пять раз по пять — XXV; если это круглое [число] умножить на себя, то получится сфера, то есть пять раз по XXV–CXXV.

Глава VIII. О различии арифметики, геометрии и музыки

Между арифметикою же, геометриею и музыкою есть различие, когда ищешь среднее[488]. Прежде всего, в арифметике[489] ты ищешь его так: складываешь крайние, делишь и получаешь половину. Например, сделай так, чтобы крайними были VI и XII; только сложишь, и они дадут XVIII; разделишь пополам и получишь [искомое среднее] IX. И это есть арифметическая пропорция (analogicum): чтобы на сколько единиц среднее [арифметическое] превосходило первое [число], на столько его превосходило крайнее. Ведь IX превосходит VI на три единицы, и на столько же его превосходит XII.

(2) При помощи же геометрии так ищешь [средние][490]: перемноженные крайние дают ту же [величину], что и перемноженные средние[491]. Например, перемноженные VI и XII дают семидесяти двойное [число], и столько же дают перемноженные [искомые] средние [числа] VIII и IX.

(3) При помощи музыки — так[492]: на какую часть [первого числа] среднее превосходит первое [число], на такую же часть [самого себя] крайнее [число] превосходит среднее. Например, VI и VIII; [восемь] превосходит [шесть] на две [шестых]