части [шестерки], и эти две [шестых] части [от XII-ти суть] третье среднее — восемь — [которое] превосходит вышеназванная девятка [то есть среднее арифметическое].

Глава IX. Сколько существует бесконечных чисел

Совершенно же очевидно, что есть бесконечные числа, по-скольку если ты помыслишь о каком бы то ги было числе, что ему можно положить предел, то я скажу, что оно само не только может быть увеличено посредством прибавления единицы, но будь оно сколь угодно великим и содержи сколько угодно большое множество, оно этим способом (ratio) и при помощи науки о числах не только может быть удвоено, но и умножено [в большее количество раз][493].

(2) Однако каждое число так ограничивается своими свойствами (proprietates), что никакое из них не может быть равным какому-либо другому. Следовательно, между собой [=по отношению к другим] они неравны и различны, и из отдельных чисел каждое — конечно и все — бесконечны.

Титул II. О геометрии

Глава X. Об изобретателях геометрии и ее имени

Говорят, что наука геометрии (geometria, geometrica) была впервые изобретена египтянами, потому что во время разливов Нила, когда все владения покрыты илом, начало деления земли при помощи линий и мер дало имя [этому] искусству. И затем, развитое далее остротой [мысли] мудрецов, оно измерило размеры [также] и моря, и неба и воздуха. (2) Ибо, пробудив [свое] исследовательское рвение, они, таким образом, начали после измерения земли искать размеры и неба: на какое расстояние Луны от Земли и само Солнце от Луны отстоит и насколько мера распространяется вплоть до вершины неба, и таким образом они сами расстояния неба и кругообращение мира (orbis) вероятным образом (ratio) разметили по числу стадий. (3) И поскольку эта наука началась с измерения земли, от своего начала она сохранила и название. Ибо геометрия наречена от земли и меры. Ведь землю греки называют γη̂, а меру — μέτρον.

Искусство этой науки содержит линии, отрезки, величины и фигуры, и в фигурах — размеры и количества.

Глава XI. О четырехчленном делении геометрии

Геометрия [имеет] четырехчленное деление, а именно: на плоские [фигуры], исчислимую величину, рациональную величину и на телесные фигуры.

[1] (2) Плоские фигуры (planae figurae) суть те, которые содержатся в длине и ширине, каковые суть у Платона числом пять[494].

[2] Исчислимая [=натуральная] величина (numerabilis magnitudo) есть та, которая может быть разделена посредством арифметических чисел.

[3] (3) Рациональные величины (rationales magnitudines) суть те, меру которых мы можем знать, а иррациональные (irrationales) — те, знания о количестве мер которых нет.

[4] Телесные фигуры (figurae solidae) суть те, которые содержатся в длине, ширине и высоте[495], как, [например,] куб.

Глава XII. О геометрических фигурах

Разновидностей коих на плоскости (in piano) пять[496].

[1] Первая из них, круг (circulus), есть плоская фигура, которая называется окружностью (circumducta), в центре которой — точка, которую всё окружает (convergunt) и которую геометры называют центром, а латиняне именуют точкою круга (рис. I)[497].

[2] (2) Четырехсторонняя (quadrilatera) фигура есть квадрат[498] на плоскости, который лежит между четырех прямых линий, вот так (рис. 2).

[3] Плоская фигура διαναθετω̂ν γραμμω̂ν[499], <вот такая> (рис. 3).

[4] Ортогональный [треугольник] (orthogonium)[500], то есть прямоугольный, — плоская фигура; ведь это треугольник, и он имеет прямой угол (рис. 4).

[5] Плоская фигура νσόπλευρος[501] — правильная (recta) и построенная ниже (рис. 5).

[Телесных фигур пять.]

[1] (3) Сфера (sphaera) есть фигура, образованная в округлом, равная во всех частях (рис. 6).

[2] Куб (cubus) есть собственно телесная фигура, которая содержится в длине, ширине и высоте (рис. 7)[502].

[3] (4) Цилиндр (cylindrus) есть квадратная фигура, имеющая сверху полукруг (рис. 8)[503].

[4] (5) Конус (сопоп) есть фигура, которая сужается от широкого [основания], как прямоугольный [треугольник] (рис. 9)[504].

[5] (6) Пирамида (pyramis) есть фигура, которая остро сходится от широкого [основания], ведь у греков огонь называется πυ̂ρ (рис. 10)[505].

(7) И как любое число есть в[506] 10,[507] так внутри этого круга содержатся контуры всех фигур[508] (см. рис. на с. 128). Первая же фигура в их, [геометров,] искусстве — точка (punctus), которая не имеет частей. Вторая — линия (linea) — длина без ширины. Прямая линия — это такая, которая лежит равномерно (ex aequo) в своих точках. А поверхность (superficies) — это то, что имеет только длину и ширину. Границы поверхностей — это линии, контуры (formae) которых потому не были установлены [=названы] среди десяти вышеназванных фигур, что они находятся среди них[509].

Глава XIII. О [средних] геометрических числах

При помощи же геометрии так ищешь [средние] числа[510]: ведь перемноженные крайние дают ту же [величину], что и перемноженные средние. Например, перемноженные VI и XII дают семидесяти двойное число, и столько же дают перемноженные [искомые] средние [числа] VIII и IX.

Глава XIV. Представление фигур, нарисованных ниже[511]

Также при помощи восьми фигур получается другой смысл (ratio) в движении светил (stellae): или что они [знаки Зодиака] оппозиционные, или квадратурные, или тригональные, или секстильные, или соседние, или вместе, или окружающий (circumferens), то есть который или переходит или не достигает. Оппозиционные (diametra) — когда разделяются пятью знаками; квадратурные (quadrata, tetragona) — когда двумя; секстильные (hexagona) — одним; соседние (asydenta) — когда ни одним; вместе (simul) — когда находятся в той же части; переходящий (superferens) — когда превосходит или совершает действие (actum facit); не достигает (superfertur) — когда предшествует; тригональные (trigona) — когда [разделяются] тремя средними.

(2) Также в другом смысле есть восемь различий: знак [Зодиака], части, границы, [планеты] в соединении (conventu), прямое или попятное движение [планет], [их] широта (latitudo) и долгота (longitudo).

(3) Смысл внутренней формы. В этом отношении может возникнуть такой вопрос. [Почему] хотя в порядке числа первое — VIII, прежде него помещается IX, ибо в арифметическом или геометрическом смысле VIII больше IX. Ведь VIII — это куб, или объем, то есть тело, и больше этого открыть невозможно[512]. IX же есть поверхность [=квадрат], то есть вещь, которая не полна и не достигает совершенства.