этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, – а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени – это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом

или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, т. е. такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.

Гипотезу, предполагающую, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума, или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу – проблемой континуума. В 1877 г. Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 г. начал отдельными частями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Шестая часть была завершена 15 ноября 1883 г. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, т. е. доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных статей не последовало. Кантор осознал, что не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 г. у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX в. было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три, …, сорок восемь, …, две тысячи семь, … – может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль –

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их – в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) – римскими цифрами. Порядковое число – это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы текст), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям – ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения знакомы не только мне.

Итак, раннее детство. Я размышляю о том, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль: раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, значит, я плохой. Но тогда я хороший и т. д. Какая замечательная бесконечная лестница мною выстроена, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и т. д. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («Я плохой»), II («Я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («Я плохой, потому что себя похвалил») и т. д. С лестницей же в целом («Я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число ω (омега). Далее следуют ω + I («Я плохой, потому что себя похвалил»), ω + II, ω + III и т. д. А потом за ними всеми ω + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить этот ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и т. д. По смыслу они представляют собою порядковые числительные и потому должны были бы быть на них похожи по форме. Следовало бы говорить поэтому «омеговый», «омега-плюс-первый» и т. д.; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить, понял ли он, что такое бесконечные порядковые числа (удалось ли автору это внятно изложить), благоволит выполнить следующее упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 8, числа 3, всех чисел 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. и всех чисел 2, 2 1/2, 2 2/3, 2 3/4, 2 4/5 и т. д. Пронумеруйте элементы этого множества в порядке их возрастания порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим, элементом является здесь 0, и он получит номер I, элемент 1/2 получит номер II, элемент 2/3 – номер III и т. д.; далее элемент 2 получит номер ω, элемент 2 1/2 – номер ω + I, элемент 2 2/3 – номер ω + II и т. д.; наконец, элемент 3 получит номер ω + ω и элемент 8 – номер ω + ω + I.

Решение задачи об эквивалентности множеств точек, расположенных на двух отрезках.

Обозначаем концы отрезков буквами A, B, C, D, как указано на рисунке. Проводим прямые через A и C и через B и D до пересечения в точке F. (Предоставляем читателю самостоятельно разобраться в случае, когда прямые оказались непересекающимися.) Из F проводим лучи, пересекающие оба отрезка. Точки наших отрезков, лежащие на одном и том же луче (на рисунке они помечены крестиками и кружкáми), объявляем соответствующими друг другу. Возникает взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами.

Глава 8

Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике

Общественное сознание отчасти мифологично, и это давно не новость. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность