Zusammenfassung von Einzeldingen zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht»). Далее Хаусдорф замечает, что подобное определение можно по праву назвать определением через самоё себя (idem per idem) или даже определением тёмного через темнейшее (obscurer per obscurium) и что это не столько определение, сколько иллюстрация и указание на первичный характер понятия, которое не сводится ни к чему более простому. «Однако, – пишет он о цитированных нами словах, – мы можем трактовать их просто как указания на некоторый первоначальный, всем свойственный акт мышления, который, быть может, и нельзя, а может быть, и не нужно [курсив мой. – В. У.] разлагать на другие, более простые акты». Дать точное определение всем понятиям невозможно, поскольку одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д., и мы неизбежно приходим либо к порочному кругу, либо к тупику. Поэтому необходимо должны существовать понятия неопределимые, познаваемые непосредственно материальным или ментальным опытом. В математике к числу их принадлежат понятия натурального числа и множества.

Заметим, что здесь, как и в ряде других случаев, математики используют слово естественного (русского, английского и т. п.) языка не в его обыденном значении, привычном для тех, кто в математике не искушён, а в особом, терминологическом. (В современной алгебре, например, термины «кольцо» и «поле» означают математические структуры с определёнными свойствами.) В обычном понимании русское слово «множество» употребляется, когда чего-то много. Математическое же понятие множества не предполагает, что элементов в множестве много. Множество может состоять из одного-единственного элемента и даже быть пустым, вовсе не имеющим элементов. «Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество?» – спросит читатель. И мы ему ответим: «Это удобно». Мы можем, например, говорить о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни возьми, оно включает в себя и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов Московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, этих животных не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газировки без вишневого сиропа не отличается от стакана газировки без апельсинового сиропа; сравнение понятно старшему поколению, которое ещё помнит, как газированной водой торговали на улицах советских городов.)

Учение о множествах создал великий немецкий математик и философ Георг Кантор в 1874–1897 гг. О Канторе мы ещё расскажем несколькими строками ниже, а пока заметим, что именно ему принадлежит идея обозначить понятие множества словом со смысловым оттенком 'много'. А именно: он предложил обозначить это понятие немецким словом Menge (имеющим значения 'масса', 'множество', 'большое количество', 'куча', 'груда', а также 'толпа', 'рой', 'стая'), которое стало общепринятым в немецкой математической терминологии. К этому слову Кантор пришёл не сразу, вначале он использовал, причём как синонимы, слова Inbegriff (со значениями 'воплощение', 'олицетворение', 'высшее проявление') и Mannigfaltigkeit (со значениями 'разнообразие', 'разносторонность', 'многосторонность', 'множественность'[51]). Наконец он остановился на Menge и в 1895 г. так разъяснил своё понимание этого термина: «Под множеством мы понимаем соединение M определенных и вполне различимых объектов m нашего созерцания или мышления (каковые называются элементами M) в одно целое» («Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen»[52]).

Назвав Кантора выше немцем, мы всего лишь последовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его надо называть. Отец Кантора родился в Дании, мать – в России. Сам он также появился на свет на русской земле, а именно 3 марта в Санкт-Петербурге (где на календаре в тот день было 19 февраля); в этом городе он провел первые 11 лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, нежели французом. Кем ощущал себя Кантор, загадка. Его биографы указывают, что, хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX в. не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном далось его автору настолько трудно, что привело его к тяжёлой нервной болезни. В 1884 г. у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 г. он уже не публиковал научных работ. С 1899 г. Кантор становится пациентом неврологических санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался 6 января 1918 г. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после её осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не нужно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Совершенно так же образованию понятия 'цвет' предшествует формирование представления об одноцветности, хотя слово «одноцветный» происходит от слова «цвет». Можно сказать, что цвет – это то общее, что есть у всех одноцветных предметов, а количество – это то общее, что есть у всех равноколичественных множеств.

Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, можно вообще не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых владеет стадом коз, а другой – стадом овец. Они хотят обменяться стадами, но при условии, что те равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца – ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств. Аналогично нет нужды пересчитывать людей и стулья, чтобы убедиться в одинаковости их количеств. Надо просто посадить людей на стулья, причём так, чтобы на каждом стуле сидел один человек и чтобы никто не занимал двух или более стульев.

Пример из первобытной жизни и пример со стульями приводят нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом их элементы,