в порядке: сто семь тысяч триста двадцать восемь жителей Буэнос-Айреса, как обычно, появились, готовые к временному погружению в подземелье. В пятницу (теперь, после принятых мер, считалось, что учёт ведется безошибочно) число людей, вышедших из метро, превышало на единицу число вошедших[48].

При дальнейшем чтении я, к сожалению, обнаружил, что Кортасар предлагает некое рациональное объяснение изложенного им парадокса; в этом очевидное отличие Кортасара от его старшего соотечественника Борхеса (влияние коего Кортасар, несомненно, испытал): Борхес не стал бы искать рационального оправдания. «К сожалению» сказано потому, что поначалу мне показалось, будто в рассказе выражена глубокая идея о возможности, хотя бы в фантазии, следующего эффекта: при очень большом количестве предметов это количество не меняется при добавлении или убавлении сравнительно небольшого их числа. И хотя, повторяю, я ошибался, когда приписывал Кортасару открытие и опубликование этого воображаемого эффекта, давайте всё же будем называть его для краткости эффектом Кортасара, следуя принципу, установленному нашим выдающимся математиком Владимиром Игоревичем Арнольдом: если какое-либо явление или утверждение носит чьё-либо имя, то это означает, что оно не имеет своим автором носителя этого имени. Предположение, что эффект Кортасара имеет отношение не только к фантазиям, но и к реальности, может показаться бредом, но, как будет показано ниже, скрывающееся за этим названием явление действительно имеет место, если очень большое становится бесконечным.

Бесконечное вообще следует – в понятийном аспекте – трактовать как упрощённое представление о конечном, но очень большом. А бывает ли вообще бесконечное количество предметов? Бывает ли оно в физической реальности, никто не знает. Количество звёзд во Вселенной – конечно оно или бесконечно? Мнения расходятся, и проверить, кто прав, довольно затруднительно. В реальности же идеальной – да, бывает. Например, бесконечен натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …. Предуведомим для ясности, что в этой главе, вплоть до особого предупреждения, никаких других чисел мы рассматривать не будем, а потому натуральные числа будут именоваться просто числами.

Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики, бесконечного множества. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления: в частности, нарушение древней философемы «Целое больше части». На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 г. вышла его книга «Беседы и математические доказательства…». Изложение в духе того времени выглядело как запись бесед, которые в течение нескольких дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, чтó говорят участники беседы.

Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на само себя; таким образом, числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон, или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь если я скажу, что количество всех чисел вместе – квадратов и неквадратов – больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным, не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень – свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень – более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как бόльшая часть их не является квадратами.

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» – в растерянности спрашивает ещё один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что, рассматривая два таких количества, не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, – и то и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с привычными для нас представлениями. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить, хотя бы потому, что каких-либо привычных схем оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно неквадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все неквадраты и получить таким образом совокупность всех чисел. Оказывается, количество всех чисел действительно равно количеству квадратов, хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление – равенство по количеству совокупности и её собственной части – для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать принятого в математике термина «множество», как мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность».

Первая глава знаменитой книги Хаусдорфа[49] «Теория множеств» (Mengenlehre)[50] открывается такими словами: «Множество возникает путём объединения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство» («Eine Menge entsteht durch