Жизнь Дашковой началась весьма благоприятно, когда от купели ее восприняли две августейшие персоны: великий князь Петр, будущий император Петр III, которого она потом свергнет, и только что коронованная императрица Елизавета, которая 20 декабря 1742 года вернулась в Петербург после обряда венчания на царство в московском Успенском соборе. Дашкова настаивает в «Записках», что Елизавета согласилась стать крестной матерью из-за ее тесной дружбы с матерью Дашковой, а не потому, что дядя девочки Михаил Воронцов недавно женился на двоюродной сестре императрицы Анне Скавронской, играл одну из ведущих ролей при дворе и был членом узкого круга императрицы, так называемого «кабинета Елизаветы Петровны». Тем самым Дашкова дистанцировалась от наиболее влиятельного члена семьи, главы воронцовской партии при дворе. Через год после рождения Дашковой Михаил Воронцов первым в семье получил титул, когда 27 марта 1744 года император Карл VII сделал его графом Священной Римской империи. Он был пажом Елизаветы и стоял на запятках ее саней, когда они неслись ночью к казармам Преображенского полка во время переворота 25 ноября 1741 года, вознесшего Елизавету на трон. Вместе с доктором Арманом Лестоком, учителем музыки немцем Шварцем, братьями Петром и Александром Шуваловыми и двумя молодыми гвардейскими офицерами он помог Елизавете захватить трон. С тех пор она всегда зависела главным образом от поддержки Михаила Воронцова, трех Шуваловых (Петра, Александра и Ивана), Кирилла Разумовского и Михаила Бестужева.

Его последующая служба вице-канцлером (1744–1758) и канцлером (1758–1763) точно соответствует периоду Семилетней войны и годам детства и юности Дашковой. Во время царствования Елизаветы самым трудным временем для Михаила Воронцова и для всей его семьи была середина 1740-х годов, когда Елизавета обнаружила, что Лесток получал деньги от Британии, Пруссии и Швеции. Хотя она узнала, что Михаил Воронцов также принимал дары от иностранных держав, ему удалось избежать наказания. Тем не менее его репутация была испорчена, и Екатерина II позже напишет, что Михаил «был лицемером, каких свет не производил», «в руках» иностранных послов[28]. Отставленный от придворных дел осенью 1745 года, он вместе с семьей год путешествовал по Европе, посетив Германию, Италию, Францию и Нидерланды. Будучи за границей, он укрепил свои политические и культурные связи с Западом; например, в Италии он посетил Академию наук в Болонье, вручив академическому начальству книги и подарки. В течение ряда лет Михаил Воронцов оставался в тени канцлера Бестужева-Рюмина, но, по мере того как Европа двигалась к Семилетней войне, его положение постепенно улучшалось. Когда Фридрих II вторгся в Саксонию в 1756 году, Бестужев потерял власть, перешедшую к вице-канцлеру Воронцову и Ивану Шувалову. После ареста Бестужева императрица сама явилась в дом к Михаилу, чтобы объявить о его назначении канцлером, и 23 октября 1758 года он занял высший гражданский пост Российской империи.

Рожденная в богатстве и власти, Дашкова росла в самом центре политической и культурной жизни России XVIII столетия. Карьера Михаила Воронцова предрекала ее вовлечение в политику екатерининского царствования — Дашковой, как и ее дяде, предстояло сыграть важную роль в успешном перевороте, пасть жертвой придворных интриг и вынужденно отбыть за границу. Тем не менее, вместо того чтобы представить биографию дяди как образец для ее собственной жизни, она предпочла сделать акцент на личных отношениях между ее матерью и императрицей. Елизавета поняла, что у нее осталось слишком мало средств, после того как близкий друг и сподвижник Петра Великого Александр Меншиков лишил ее с сестрой большей части материнского наследства. Она горько жаловалась на это и никогда не простила бедности, от которой она, дочь Петра Великого, страдала после смерти матери. Ее, как ей казалось, «нищета» стала еще более острой в правление императрицы Анны, и мать Дашковой, Марфа Ивановна Воронцова, пришла на помощь Елизавете, снабжая ее деньгами. Михаил Воронцов и отец Дашковой Роман в большой степени обязаны своим продвижением при дворе дружбе Марфы с Елизаветой. По мнению Дашковой, история матери создала оправдание ее собственным действиям, а также чувство преемственности — альтернативную генеалогию, основанную на женской дружбе, вместо традиционного семейного древа, построенного на передаче титулов и состояния от отца к сыну. Она выявила солидарность между Елизаветой и ее матерью как наследие взаимной поддержки женщин, отразившее и предсказавшее ее собственные отношения с Екатериной II.

Когда Дашковой было всего два года, она потеряла умершую от тифа мать и потом всегда вспоминала о ней с любовью и благоговением, хотя и несколько сентиментально. Марфа Воронцова, урожденная Сурмина, была единственной наследницей значительного состояния. Она вышла замуж за Юрия Долгорукова, капитана гвардии, но могущественная семья Долгоруковых попала в немилость. Они были обвинены в подрыве здоровья молодого царя Петра II, который умер от оспы в 1730 году, императрица Анна сочла их виновными и сослала в Сибирь по совету своего любовника графа Бирона, который установил в России режим террора. Марфа обратилась к императрице Анне, и ее брак с Юрием Долгоруким был объявлен недействительным[29]. В 1735 году, когда ей было семнадцать, а ему восемнадцать, она вышла замуж за Романа Воронцова и за десять лет родила ему семерых детей: Марию, Елизавету, Александра, Екатерину и Семена (Владимир и Анна умерли в младенчестве). Когда мать скончалась, Дашкова жила в деревне, в семейном поместье, где о ней заботились няня-крестьянка и бабушка с материнской стороны Федосья Сурмина[30]. Когда ей исполнилось четыре года, принимаемые ею как должное тепло и безопасность закончились и она была послана жить в холодном блеске Петербурга для получения приличествующего ей образования. Дядя вице-канцлер согласился принять девочку. Отныне ее ждала новая, совсем другая жизнь[31].

Придворная знать строила себе в столице огромные дворцы, и одним из самых больших был дворец Михаила Воронцова. Сначала Дашкова жила в старом доме дяди, который он вскоре заменил на великолепный дворец, возведенный архитектором Бартоломео Растрелли в стиле русского барокко[32]. Воронцовский дворец обращен фасадом на Садовую улицу, напротив Гостиного Двора, а сады его в то время тянулись до самой Фонтанки. Начатый в 1746 году дворец имел гармонично расставленные колонны и изящную решетку парадного двора — один из самых ранних образцов русской художественной ковки, также творение Растрелли. Юной Дашковой дворец представлялся безрадостной официальной резиденцией, полной золота, слоновой кости, лака и глянца, обставленной во французском стиле: секретеры, украшенные золоченой бронзой, столы с мраморным верхом и стулья резного дерева, обитые шелком и бархатом. Она чувствовала себя потерянной и одинокой в огромных и неприветливых комнатах. Повсюду она видела дорогие произведения искусства — скульптуры, паркетные полы, хрустальные подсвечники, ковры. Стены были увешаны искусно изготовленными клинками дамасской стали, а огромные зеркала без конца отражали блеск и экстравагантность ее нового дома. Позже Екатерина II напишет, что Михаил Воронцов украсил свои комнаты мебелью мадам Помпадур, утонченной фаворитки Людовика XV. Эта мебель якобы была подарена ему в благодарность за профранцузскую политику. На самом деле, посланный груз, состоявший из хорошо подобранного набора шпалер и стульев, которые, возможно, в самом деле когда-то принадлежали Помпадур, канул в морской пучине при перевозке в Россию. Щедрый французский король заменил потерянные предметы новыми шпалерами со сценами из «Дон Кихота», а также серией гравюр, книгами и кабинетом с прекрасной коллекцией медалей[33]. Дашкова росла в этом роскошном дворце и в Новознаменке, расположенной в 17 верстах от Петербурга на Петергофской дороге — это был загородный дом, который ее дядя купил в 1750 году и перестроил с помощью архитектора Антонио Ринальди.