— Две, — ответила Сфера, — по одной туфле на каждой ноге: левую туфлю на левой ноге, правую — на правой.

Этого замечания никто из нас не понял.

— Взгляните на изображение Гомо Сапиенс, — сказала Сфера, — и вы увидите, что его ноги симметричны. Они зеркально симметричны, но не конгруэнтны. Как бы Гомо Сапиенс ни крутил или ни поворачивал правый башмак, тот никогда не станет левым.

— Так же как дворняжка никогда не станет породистой собакой, — заметил по этому поводу мой второй сын.

Замечание по существу было правильным, однако я счел его крайне бестактным. Ну что ему стоило привести другой пример? Глаз Агаты наполнился слезами. От Сферы, не знавшей ничего ни о породистых собаках, ни о дворнягах, смысл этого замечания, естественно, ускользнул. Тем не менее она обратила внимание на то, что все взоры присутствующих обращены на собак.

— Взгляните, — обратилась к нам Сфера, — вот перед вами две совершенно одинаковые собаки. Они конгруэнтны.

— И как бы мы их ни крутили и ни вертели, они останутся конгруэнтными, — добавил мой сын.

— Ваше утверждение справедливо лишь в том случае, если мы не станем извлекать этих собачек из их пространства, выводить их из плоскости. Но если их вывести в трехмерное пространство, то изменить ориентацию собак не составит никакого труда.

Смысл последнего замечания был нам совершенно не понятен. Тогда Сфера перешла от слов к делу. Она взяла одну из собак и…. За тем, что проделала над ней Сфера, никто из нас уследить не мог. Лишь потом мне стало ясно, что Сфера подняла собачку из нашего пространства, каким-то необыкновенным образом повернула ее и снова возвратила во Флатландию. Дворняга превратилась в породистую собаку!

Если дворнягу повернуть в Трехмерии так, чтобы она изменила свою ориентацию, то она превратится в породистую собаку.

Агата сначала замерла от удивления, а потом от радости расплакалась, схватила свою любимицу и принялась ее целовать.

Сфера решила, что моя дочь очень огорчена, и сказала:

— Милая девушка, не беспокойтесь! Я сейчас верну вашу собаку в прежнее состояние.

Разумеется, Агата весьма решительно воспротивилась такому предложению. Сфера, оставшаяся в полном неведении относительно того, почему моя дочь проявляет столь сильное волнение, никак не могла понять, хорошо или плохо она поступила, изменив ориентацию собаки. Я поспешил успокоить нашего гостя:

— Эту собаку вполне можно оставить в таком виде. А вот не могли бы вы проделать ту же операцию над другими собаками?

Наш гость из Трехмерия был столь любезен, что повторил свой фокус одиннадцать раз подряд, превратив всех щенят и их мать в породистых собак. Агата быстро распрощалась и ушла, боясь, что Сфера продолжит свои эксперименты. Она сослалась на то, будто ей очень хочется спать, а в действительности всю ночь не сомкнула глаз. Что скажут соседи, когда утром в первый день Нового года она отправится на прогулку вместе со всей своей великолепной породистой сворой!

Агата со сворой породистых собак на прогулке

Мы еще немного поговорили о симметрии и конгруэнтности.

— Насколько я понимаю, — сказал я, — в Трехмерии проделать нечто подобное с башмаками невозможно.

— Вы совершенно правы, — ответила Сфера. — Правый башмак, как его ни крути, как ни верти, останется правым.

Тут в разговор вмешался мой ученый сын:

— Но этого же не может быть! Если извлечь правый башмак из трехмерного пространства, в котором он находится, и перевернуть его в четырехмерном пространстве, а затем вернуть в исходное пространство, то правый башмак перейдет в свое зеркальное отражение и превратится в левый башмак.

— Не представляю, — призналась Сфера, — каким образом можно это сделать.

— Разумеется, вам трудно себе это представить, — согласился мой сын, — так же как нам трудно представить, что происходит в трехмерном пространстве. Вы могли бы попросить вашего друга Гиперсферу, чтобы она показала вам такой фокус.

— Убеждена, что это была бы невыполнимая задача, — возразила Сфера. — То, что возможно во Флатландии, невозможно в Трехмерии.

На этом наш гость, распрощавшись со всеми, исчез.

12. СОН О ЛАЙНЛАНДИИ

Агата была неописуемо счастлива. На следующее утро она отправилась на прогулку со всеми своими собаками. Всюду она встречала завистливые или восхищенные взгляды. Я от души был рад за нее, хотя и считал непростительной глупостью судить о ком бы то ни было по тому, какой ориентации у него собака.

Затем жизнь вошла в привычное русло и потекла без особых потрясений. Ничего сколько-нибудь интересного не происходило, и единственное, что следовало бы, пожалуй, обсудить во время предстоящего визита Сферы — это возможность изменять ориентацию двумерных предметов путем поворота их в трехмерном пространстве. Представить себе наглядно, как изменяется при таком повороте ориентация, мы, естественно, не могли, и, чтобы хоть как-то разобраться в происходящем, нам оставалось лишь мысленно перенестись в Лайнландию.

Что касается меня, то я нанес свой визит в Лайнландию во сне. Не могу сказать, чтобы это произошло случайно. Вместе с одним из гостей я провел целый день в размышлениях над проблемой изменения ориентации. Не удивительно, что и во сне меня не покидали те же мысли.

Итак, совершенно отчетливо, как наяву, я увидел во сне Лайнландию. Передо мной простиралась прямая, усеянная множеством прямолинейных существ — то длинных, то коротких отрезков. Король Лайнландии находился среди своих подданных. Справа и слева от него на прямой располагались мужчины, женщины и дети. Весело двигались они то в одну, то в другую сторону своего одномерного пространства. Покинуть прямую обитатели Лайнландии, разумеется, не могли. Они были как бы привязаны к своему столь ограниченному, но все же бесконечно большому пространству. Да, бесконечно большому, хотя все пространство и состояло всего лишь из одной-единственной прямой!

Я обратился к королю, который раздраженно воскликнул:

— Откуда этот голос? Уж не колдун ли какой-нибудь разговаривает со мной?

— Нет, — ответил я, — голос, который вы слышите, принадлежит высшему существу из двумерного мира. Мой голос доносится до вас из-за пределов вашего пространства.

— Я не верю в сверхъестественные явления, — ответил король. — Либо я сплю, либо у меня слуховая галлюцинация.

— Ни то, ни другое, — возразил я. — Просто я приближаюсь к вам, опускаюсь в ваше пространство.

И в доказательство своих слов я пересек прямую.

— Откуда взялось это огромное Существо, ведь его здесь раньше не было? — воскликнул король. — Чудеса да и только!

С этими словами король ринулся на меня. Я успел выйти из его пространства как раз вовремя, и правитель