Примечания

1

Непонимание некоторыми критиками этого важного обстоятельства вынудило автора включить в свой диалог со Сферой кое‐какие замечания, проливающие свет на указанное родство между мирами различных размерностей. Ранее эти замечания были им опущены как излишние и утомительные. (Это примечание добавлено по просьбе автора.)

2

«Для чего вообще необходимо какое‐то удостоверение? — может спросить критик, живущий в Трехмерии. — Разве рождение Квадратного сына само по себе не является удостоверением, выдаваемым самой природой и доказывающим равносторонность его отца?»

На это я отвечу, что ни одна дама из общества не выйдет замуж за Треугольник, не имеющий официального удостоверения о правильности. Квадраты иногда рождаются и у слегка Неправильных Треугольников, но почти во всех таких случаях неправильность первого поколения повторно возникает в третьем поколении, вследствие чего внукам либо не удается достичь ранга Пятиугольников, либо они вообще вырождаются в Треугольники.

3

Находясь в Трехмерии, я узнал, что некоторые представители ваших церковных кругов также ввели в обиход отдельные входы для деревенских жителей, фермеров и учителей воскресных школ (см. журнал Spectator, сентябрь 1884, стр. 1255), дабы те, входя каждый в свою дверь, встречали «радушный и подобающий их положению прием».

4

В выражение «я сидел» отнюдь не следует вкладывать тот смысл, который вы обычно вкладываете в него у себя в Трехмерии, У нас, флатландцев, нет ног. Мы можем «сидеть» или «стоять» (в вашем смысле слова) ничуть не лучше, чем какая‐нибудь камбала или морской язык.

Тем не менее мы хорошо распознаем различные состояния собранности или расслабленности, соответствующие вашим понятиям «лежать», «сидеть» и «стоять». Отчасти нам помогает то лицо, о котором идет речь: при большей собранности свечение краев его фигуры усиливается.

5

Шестиугольник определяет конгруэнтные фигуры, считая первичным движение. При другом подходе мы называем конгруэнтными фигуры, совместимые не только при собственных движениях, но и при отражениях, и задаем их свойства аксиоматически. — Прим. ред.

6

Искаженное «додекагон» — двенадцатиугольник, — Прим. перев.

7

Гиперокружность (флатл.) — двумерная сфера в привычном для нас трехмерном пространстве. — Прим. перев.

8

Такая книга написана Ч. Г. Хинтоном. Называется она «Эпизод из жизни Флатландии». Однако гораздо лучше небольшая книжка Э. Э. Эбботта «Флатландия». В ней основное внимание сосредоточено на тех свойствах пространства, объяснение которых входит в намерения автора, и мы ни на миг не упускаем из виду эти свойства. В книге Хинтоиа основное внимание уделено личности и судьбе героев, что отвлекает читателя от геометрических особенностей их двумерного мира. Кроме того, окружность, на которой живут персонажи Хинтона, менее реальна, чем мир «Флатландии», хотя, быть может, она и представляет более прямую аналогию с поверхностью Земли в трехмерном пространстве.

9

Точка, вышедшая из центра сферы, расположенной в нашем пространстве, и двигающаяся по прямой, перпендикулярной нашему, пространству, не приближается ни к одной части поверхности сферы, а удаляется с одинаковой скоростью от всех ее точек. Именно так можно извлечь предмет из закрытой коробки или запертого помещения, не проникая при этом сквозь стены и стенки.

10

Некоторые авторы предпочитают говорить о петле или о «двумерном узле», имея в виду наш обычный узел, завязанный на веревке в трехмерном пространстве. Против такого словоупотребления можно возразить, что петля не двумерна, ибо, сколь бы плотно одна часть веревки ни прилегала к другой, все же она проходит над вей. Более точную аналогию мы получим, привязав один конец веревки к какому-нибудь небольшому предмету и обмотав ее затем вокруг этого предмета. На плоскости нам удалось бы обмотать веревку вокруг предмета лишь в том случае, если бы мы стали обводить вокруг него свободный конец, описывая полные круги. В трехмерном пространстве достаточно приподнять над обматываемым предметом лишь часть веревки, а ее свободный конец может оставаться на месте.

11

Иногда, не стремясь к особой точности, мы будем говорить о плоскости колеса или о плоскости пластинки так же, как мы говорим о плоскости колеса и пластинки в трехмерном мире.

12

Хинтон говорит о «четырехмерном вале» (диске, вращающемся вокруг своей центральной плоскости) и о сферическом колесе, которое он называет «четырехмерным колесом». У читателя может создаться впечатление, что осью колеса служит диск, в то время как ось колеса одномерна. Четырехмерные существа должны пользоваться не такими колесами.

13

Мы имеем в виду трехмерную веревку — такую, которую мы привыкли видеть в нашем пространстве. Все упоминавшиеся выше призмы и цилиндры трехмерные. Из них мы строим границу четырехмерных гипертел. С другой стороны, осевые пластинки и стержни, а также плоские и сферические колеса, о которых мы говорили на стр. 307, четырехмерные. Они обладают ненулевой толщиной по всем четырем измерениям.

14

О геометрии как абстрактной модели реального пространства («геометрии как физике») и геометрии как дедуктивной системе («геометрии как математике») подробно рассказано во вступительной статье П. К. Рашевского к книге Д. Гильберта «Основания геометрии», Гостехтеоретиздат, М. — Л., 1948. — Прим. перев.

15

Девиз участника конкурса. — Прим. перее.

16

Буквой M здесь обозначена мощность континуума, которая не удовлетворяет неравенству N² > N (или N³ > N), справедливому лишь для всех конечных чисел N > 1. Являясь величиной совсем другой природы — одним из типов бесконечности, M (хотя она и больше 1, как, впрочем, и любого другого конечного числа) подчиняется иной, менее привычной арифметике: Mг = M (или M³ = M)! — Прим. перев.