составным. Очевидно, что простота является инвариантом узла. Мы показали, что квадратный узел составной. Примем без доказательства, что трилистник, восьмерка, печать Соломона и пряничный человечек — простые узлы, поэтому ни один из них не может быть изотопичен квадратному узлу.

Рис. 18.12. Композиция трилистника и его зеркального изображения является квадратным узлом

Предположим, что нам известны рода узлов K и L. Легко ли определить род K#L? Обозначим SK и SL поверхности Зейферта узлов K и L минимального рода. Используя те же самые проекции K и L, образуем K#L и соответствующую поверхность Зейферта SK#L. Легко видеть, что если SK образована dK дисками и bK лентами, а SL — dL дисками и bL лентами, то SK#L образована dK + dL — 1 дисками и bK + bL лентами. Поэтому род SK#L равен

½[1 — (dK + dL — 1) + (bK + bL)] = ½(1 — dK + bK ) + ½(1 — dL + bL)

= g(K) + g(L).

Проблема в том, что мы не знаем, является ли SK#L поверхностью Зейферта минимального рода для узла K#L. Поэтому мы можем только утверждать, что g(K#L) ≤ g(K) + g(L). Мы опускаем доказательство, но на самом деле SK#L действительно имеет минимальный род. Таким образом, род аддитивен.

Для любых двух узлов K и L имеет место равенство g(K#L) = g(K) + g(L).

Эта формула позволяет вычислить род квадратного узла:

g(квадратный узел) = g(трилистник) + g(трилистник) = 1 + 1 = 2.

У этой формулы есть интересное следствие: если K или L — нетривиальный узел, то K#L тоже нетривиален. Это следует из того, что если g(K) ≠ 0 или g(L) ≠ 0, то g(K#L) ≠ 0. Вот один из способов интерпретации этого утверждения: если шнурки завязаны узлом, то невозможно взять два свободных конца и завязать узел, так чтобы узел на шнурках развязался. Узлы не имеют «обратных узлов», которые их развязывали бы.

Стоит отметить, что если K и L — альтернирующие узлы, то K#L — тоже альтернирующий узел (сможете это доказать?). Поэтому у квадратного узла, для которого мы не показали альтернирующую проекцию, такая проекция все же существует.

Хотя род узла позволяет различить много узлов, этот инвариант не полон — из того, что два узла имеют одинаковый род, не следует, что это один и тот же узел. Например, у трилистника и восьмерки род одинаковый. Поэтому либо это один и тот же узел (что не так), либо нам нужен другой метод их различения. Аналогично печать Соломона, пряничный человечек и квадратный узел имеют одинаковый род.

Далее в этой главе мы введем еще два инварианта узлов, которые позволят различить остальные узлы. Это лишь малое подмножество известных инвариантов узлов.

Первый инвариант называется раскрашиваемостью. Для проверки на раскрашиваемость мы рисуем проекцию узла карандашами трех разных цветов. Узел является раскрашиваемым, если в каждой точке пересечения встречается только один или все три цвета. Кроме того, мы требуем, чтобы вся проекция не была одного цвета. Не очень трудно доказать, что раскрашиваемость является инвариантом узла, но это доказательство мы опустим. В частности, раскрашиваемость не зависит от выбора проекции.

На рис. 18.13 видно, что трилистник раскрашиваемый (мы использовали в качестве цветов черный, серый и «пунктирный»). Но после нескольких экспериментов оказывается, что восьмерка не раскрашивается. В примере на рис. 18.13 мы следовали правилам и раскрасили первые три пряди. А с верхней прядью вышла незадача. В зависимости от того, с какой стороны мы подходим, прядь оказывается разного цвета. Не существует цвета, позволившего бы раскрасить этот узел правильно. Поэтому трилистник и восьмерка — разные узлы.

Оставляем читателю доказательство того, что квадратный узел раскрашиваемый, а печать Соломона и пряничный человечек — нет. Таким образом, мы еще одним способом доказали, что квадратный узел отличен от печати Соломона и пряничного человечка.

С помощью простоты, рода и раскрашиваемости мы смогли различить все наши узлы, кроме печати Соломона и пряничного человечка. Оба узла простые, рода 2 и нераскрашиваемые. Чтобы доказать, что они все же различаются, нам нужен еще один инвариант: число пересечений.

Рис. 18.13. Трилистник раскрашиваемый, а восьмерка — нет

Числом пересечений узла называется наименьшее число пересечений во всех его проекциях. Будем обозначать c(K) число пересечений узла K. В обычной проекции тривиального узла пересечений нет, поэтому его число пересечений равно 0. Мы знаем, что трилистник и тривиальный узел различны, и имеется проекция трилистника с 3 пересечениями. Любой узел с 0, 1 или 2 пересечениями тривиален, поэтому число пересечений трилистника равно 3.

Узлы часто группируются по числу пересечений. Узлов с небольшим числом пересечений не очень много. Из табл. 18.1 видно, что трилистник — единственный узел с числом пересечений 3 (если не считать его и его зеркальное изображение за два), и существует всего семь простых узлов с шестью или меньшим числом пересечений. Но по мере увеличения числа пересечений количество различных узлов быстро возрастает168.

Таблица 18.1. Количество простых узлов с заданным числом пересечений

Как и с родом, и по той же самой причине с числом пересечений работать трудно. Посчитать число пересечений в заданной проекции легко. Но нет гарантии, что не существует другой проекции с меньшим числом пересечений. если имеется проекция узла K с n пересечениями, то мы можем только сказать, что c(K)≤ n. По счастью, как и род, число пересечений легко вычислить для альтернирующих узлов.

Сто лет назад Тэйт высказал гипотезу, что в редуцированной альтернирующей проекции узла число пересечений минимально. Здесь «редуцированная» означает, что перед подсчетом пересечений мы удаляем все несущественные пересечения типа показанного на рис. 18.14. Такое пересечение можно удалить, просто повернув часть узла на 180°. Если удалить все такие пересечения, предположил Тэйт, то оставшееся число пересечений минимально. Гипотеза Тэйта оставалась открытой много лет, но была независимо и одновременно доказана Луисом Кауфманом, Кунио Мурасуги и Морвеном Тистлетвейтом в середине 1980-х годов169.

Рис. 18.14. Несущественное пересечение

В редуцированной альтернирующей проекции узла число пересечений минимально.

Эта теорема позволяет легко вычислить число пересечений для любого альтернирующего узла. Поскольку наши проекции трилистника, восьмерки, печати Соломона и пряничного человечка уже редуцированные и альтернирующие,