Здесь работает вполне простой алгоритм очень геометрического свойства. Сначала нужно создать мелодию, которая будет основой канона. Запишем ее на нотном стане. Алгоритм – правило, которое применяется к этим исходным данным для создания пьесы, полной гармонии. Работает этот алгоритм следующим образом: он копирует исходную мелодию и воспроизводит ее, но со сдвигом на несколько тактов вправо. Это приводит к сдвигу по времени. Это немного похоже на меандр, украшающий керамическую вазу: узор копируется и воспроизводится со сдвигом. Как и на вазе, мелодию можно сдвинуть еще раз, создав тем самым третий голос, начинающий исполнять ее после того, как вступили первый и второй голоса.

Если записать алгоритм канона в виде математической формулы, можно обозначить мелодию х, выбранный сдвиг по времени – s, а затем сыграть x + sx + ssx. Этот алгоритм создает из одной-единственной мелодии гармонизированную пьесу для трех голосов.

В фуге эта идея получает дальнейшее развитие: используются несколько голосов и преобразования темы или тем на протяжении всей пьесы. Бах любил применять к исходной мелодии еще одно правило: он сдвигал второй голос не только вправо, но и вверх или вниз, изменяя тональность. Кроме того, он использовал симметричные преобразования мелодии. Второй голос мог воспроизводить ее задом наперед. Этот прием аналогичен зеркальному отражению узора. Комбинируя все эти правила, можно построить алгоритм, который создаст гармоничную и сложную пьесу, отталкиваясь от одной мелодии, например такой, какую задал Баху Фридрих Великий. Бах понимал, как этот алгоритмический подход к королевской задаче способен помочь ему сымпровизировать фугу на заданную тему.

Фридрих был впечатлен его импровизацией, но на этом не остановился. Теперь ему хотелось узнать, сумеет ли Бах удвоить число голосов и сымпровизировать шестиголосную фугу. Такого никогда раньше не делалось. Но композитор не собирался сдаваться без боя. Поскольку введение шести голосов требовало работы более вдумчивой, чем простая импровизация за фортепиано, он, уехав, начал работать над сплетением шести голосов в согласованную фугу. Результатом этой работы стал шестиголосный ричеркар, поразительная пьеса, которую он прислал королю двумя месяцами позже.

Вместе с этой фугой Бах сочинил на предложенную Фридрихом тему еще десять пьес. В каждую из них он включил простую мелодию и математическое правило или алгоритм для развития этой мелодии в гармонизированную пьесу. Каждое из приношений было представлено в виде головоломки, которую должен был решить исполнитель пьесы. Например, в одной из пьес содержится всего лишь одна нотная строка, в конце которой стоит перевернутый ключ. Этот перевернутый ключ указывает на алгоритм, который, по замыслу Баха, должен применить к мелодии исполнитель. Алгоритм требует взять первоначальную мелодию, перевернуть ее и исполнять эту перевернутую мелодию одновременно с исходной, что дает фортепианную пьесу для двух рук. Такой алгоритм – это правило, применяемое к исходной мелодии для добавления к пьесе новых партий. Если алгоритм для распознавания образов работает с любой фотографией, какова бы она ни была, то музыкальный алгоритм создает пьесу, какова бы ни была исходная мелодия.

В каждой из десяти пьес, составляющих начало «Музыкального приношения», есть свои собственные алгоритмические приемы для математических преобразований исходной темы.

Эти пьесы служат подготовкой к необыкновенной завершающей фуге, которая дает превосходную иллюстрацию того, как Бах мог взять простую тему и, применив к ней простые же математические правила, создать пьесу изумительной сложности. Мелодия сдвигается по времени, исполняется задом наперед, повторяется с повышением тона, переворачивается вверх ногами. Эта головокружительная смесь разных правил, которые Бах комбинирует с таким мастерством, порождает шестиголосную фугу. Наш мозг воспринимает противоречие между узнаванием музыкального рисунка и пониманием, что он не настолько прост, чтобы мы могли предсказать, что мы услышим дальше. Именно это противоречие между известным и неизвестным и возбуждает наш интерес. Как сказал композитор Харрисон Бертуисл, музыка не должна кончаться до самого конца.

Сознавал ли Бах, в какие математические игры он играет? На мой взгляд, он явно знал, что делает. В его творчестве так много математических конструкций, что он вряд ли мог использовать их случайно или даже бессознательно. Он был членом Общества музыкальных наук, которое основал его ученик Мицлер. Это общество было создано для изучения связей между точными науками и музыкой и распространяло трактаты с названиями вроде «Необходимость математики для обучения основам музыкальной композиции». Так что Бах, несомненно, жил в мире, интересовавшемся диалогом между математикой и музыкой.

Его сын, Карл Филипп Эмануэль Бах, пренебрежительно относился к фугам отца и заявлял, что он «не любитель сухих математических упражнений». Чтобы доказать, что речь на самом деле идет всего лишь о музыкальных фокусах, он даже разработал музыкальную салонную игру, которая называлась «Задумка сделать двойной контрапункт октавы из шести тактов без знаний правил». Игроки получали две страницы нотной записи. На каждой странице был выписан, по-видимому, случайный набор нот. Первая страница использовалась для составления дискантовой партии для правой руки, вторая – для басовой партии для левой. Участнику игры нужно было только выбрать наугад любую ноту для начала мелодии, а затем сыграть 9-ю ноту после нее, потом 18-ю, 27-ю и так далее, пока ноты не заканчивались. К.Ф.Э. Бах искусно подобрал ноты так, что, с какой бы из них ни начиналась мелодия, играя каждую девятую ноту можно было составить вполне приемлемую пьесу, совершенно не понимая принципов ее построения. Идеальный код для машины!

«Музыкальное приношение» часто исполняют в концертах, а вот об исполнении «Задумки» Баха-младшего я не слышал. Это говорит о том, что для успешного сочинения музыки, возможно, нужно нечто большее, чем механическое следование набору правил.

Моцарту также приписывают авторство алгоритма, похожего на игру К.Ф.Э. Баха и позволяющего любому желающему сочинить свой собственный вальс Моцарта. Его Musikalisches Würfelspiel, то есть «игра в музыкальные кости», дает возможность создавать вальсы длительностью в 16 тактов при помощи пары игральных костей. Эта игра была впервые опубликована в 1793 году, через два года после смерти Моцарта. Кое-кто сомневается, не был ли ее настоящим автором издатель Николаус Зимрок, приписавший игре авторство Моцарта, чтобы она лучше продавалась.

Игра состоит из 176 тактов, собранных в таблицу размером 11 ×16. В первом столбце содержатся 11 разных тактов, с которых может начинаться пьеса. Чтобы определить, с какого такта ее начать, нужно бросить пару костей и вычесть из результата единицу[78], что дает число в диапазоне от 1 до 11. Например, если я выкину две шестерки, это значит, что в начале своей пьесы я должен сыграть 11-й такт из первого столбца таблицы. Второй столбец определяет второй такт, и для его выбора из 11 возможных вариантов снова нужно бросать кости. Так играющий проходит все 16 столбцов, каждый раз бросая пару костей, чтобы выбрать из 11 тактов тот, который следует сыграть.