Методику Генцена можно расширить и применять для доказательства непротиворечивости многих других систем, при условии что удастся построить достаточно большой ординал. Более того, как выяснилось, всякая математическая система характеризуется определенной “силой”, числом, которое показывает, какие ординалы могут быть выражены в этой системе, а какие нет. Например, так называемый теоретико-доказательственный ординал арифметики Пеано равен ε0, то есть в ней можно выразить любой ординал, меньший эпсилон-нуля, но не сам эпсилон-ноль. У более объемных математических систем теоретико-доказательственный ординал больше. У системы ZFC он неизвестен. Зато благодаря Генцену известно, что систему ZFC можно усилить “аксиомами больших кардиналов” и описывать тогда с ее помощью кардинальные числа, намного превышающие все, что выразимо в ZFC, а это ведет к созданию еще более сильных систем с еще бо́льшим (но тоже неизвестным) теоретико-доказательственным ординалом.

Математики все еще расходятся во мнениях относительно второй проблемы Гильберта: возможно ли доказать, что арифметика непротиворечива? Одни разделяют вывод Гёделя и считают, что это невозможно в принципе, другие склоняются к точке зрения Генцена, предложившего частичное доказательство. Как бы то ни было, этот вопрос не затрагивает сути теорем Гёделя: что в рамках любой математической системы (такой, например, как арифметика Пеано или ZFC) возможно сформулировать неразрешимые утверждения. Можно, конечно, судить об истинности или ложности таких утверждений, используя средства другой системы (как это сделал Генцен, усилив простую арифметику ординалами), но мы все равно не будем знать, является ли эта другая система непротиворечивой. Нам остается только принять ее за таковую.

Прошло три десятка лет после публикации в начале 1930-х годов теорем о неполноте, а примеров неразрешимых утверждений у математиков было раз-два и обчелся, не считая слишком уж искусственных, вроде тех, что сам Гёдель использовал в своем доказательстве. А затем произошел настоящий прорыв, и причиной его стало предположение, тревожившее умы математиков с того самого момента, как его в 1873 году выдвинул Георг Кантор. Это предположение – континуум-гипотеза, с которой мы уже встречались в десятой главе. Она гласит, что число алеф-один (ﬡ1) – мощность множества всех счетных ординалов – равно также мощности множества всех действительных чисел; другими словами, что действительных чисел (или точек на линии) столько же, сколько счетных ординалов. Если континуум-гипотеза истинна, значит, не существует множества, которое по мощности занимало бы промежуточное положение между множествами целых чисел и действительных чисел. Сам Кантор не сумел доказать это предположение, хоть и бился над ним бо́льшую часть жизни, чем, возможно, и подорвал свое психическое здоровье. Гильберт придавал континуум-гипотезе такое большое значение, что поставил ее на первое место в своем списке двадцати трех важнейших проблем. Лишь в 1963 году благодаря работе американского математика Пола Коэна был прояснен – если не окончательно определен – статус континуум-гипотезы. Коэн доказал, что в рамках ZFC (а они не так уж тесны!), самой широко используемой аксиоматической системы в современной математике, континуум-гипотеза неразрешима. Он обнаружил, что возможно сконструировать два различных набора аксиом, каждый из которых будет включать в себя все аксиомы ZFC и обладать внутренней непротиворечивостью, таких, что в одном из них континуум-гипотеза будет истинна, а в другом – ложна. Проще говоря, средствами системы ZFC континуум-гипотезу можно как доказать, так и опровергнуть – все зависит от того, какие дополнительные правила мы применим. Если же использовать ZFC в чистом виде, без дополнительных аксиом, невозможно ни то ни другое.

Подобная неразрешимость обнаруживается, как мы уже видели, даже в гораздо более простой евклидовой математике. Многие из начальных теорем Евклида, в том числе все первые 28 утверждений его “Начал”, не опираются на пятый постулат – тот, согласно которому параллельные прямые никогда не встретятся. Эти теоремы принадлежат к системе, ставшей известной как “абсолютная геометрия”: основанной на том же наборе аксиом, что и евклидова геометрия, за исключением пятого постулата. В абсолютной геометрии теорема Пифагора неразрешима, поскольку в евклидовой геометрии она верна, тогда как в неевклидовой (например, гиперболической), основанной на тех же аксиомах, но без постулата о параллельности, – неверна. Аналогично существуют аксиомы, добавление которых к системе ZFC позволяет как опровергнуть континуум-гипотезу (скажем, аксиомы форсинга), так и доказать ее (например, аксиома внутренней модели). В общем, континуум-гипотеза доказуемо неразрешима существующими сегодня методами. Даже используя мощнейший, охватывающий всю математическую науку инструментарий современной теории множеств, разрешить ее невозможно. Однако математика продолжает развиваться и расширяться – и надежда, что новые методики, такие как использование аксиом больших кардиналов, позволят найти решение, все еще теплится.

Самое известное из (до самого последнего времени) недоказанных утверждений в математике – это Великая (или Последняя) теорема Ферма. Название, к слову, не очень удачное, поскольку она не только не была последней из тех теорем, над которыми работал Пьер де Ферма, но и, строго говоря, вообще не была теоремой в том виде, в каком ее сформулировал великий француз. В более ранних работах она называлась точнее – гипотезой Ферма. “Последней” ее называют потому, что она была обнаружена лишь через тридцать лет после смерти математика его сыном Самюэлем в виде заметки, оставленной на полях одной книги из библиотеки ученого – “Арифметики” Диофанта. Формулируется утверждение очень просто: уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах для значений n, превышающих 2. При n, равном 2, существует бесконечное число решений, например 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Но если, настаивал Ферма, n равно 3 или больше, решений нет вообще. “Я открыл этому поистине чудесное доказательство, – написал он (на латыни), – но эти поля для него слишком малы”[59].

Гравюра с портретом Пьера де Ферма.

Надо сказать, что Ферма был математиком поистине великим и в просчетах замечен не был. Ни в одном из опубликованных им доказательств не обнаружилось ошибок. Опровергнута была всего одна из его гипотез, причем Ферма и не утверждал, что может ее доказать. Так что же, его загадочный комментарий на полях был шуткой? Может, он таким образом бросал вызов современным ему и будущим математикам, пытаясь подтолкнуть их к поискам доказательства? Или же доказательство у него и правда было и ему действительно просто не хватило места, чтобы его изложить? История подсказывает, что последнее маловероятно: несмотря на многочисленные попытки решить проблему, никому в последующие столетия не удалось найти умеренно лаконичного доказательства. Лишь в 1995 году, через 358 лет после того, как Ферма начертал на полях свою дразнящую воображение заметку, его гипотеза была наконец переведена в разряд доказанных теорем, а потребовавшийся для этого математический арсенал по своей сложности намного превышал все, что было доступно в XVII веке.