Несмотря на большой интерес к теории игр, в англоязычной литературе распространилась путаница в отношении того, в чём именно заключался вклад Цермело, равно как и вклад некоторых других ранних теоретиков. Как это ни странно, проблема возникла, по всей видимости, из-за языкового барьера: многие ранние работы по теории игр были написаны на немецком и не переводились на английский. Например, оригинальная работа Цермело под названием «О применении теории множеств к теории шахмат» (Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels)[496], увидевшая свет в 1913 г., не была переведена на английский вплоть до 1997 г. Также не была своевременно переведена на английский менее известная, но связанная работа Денеша Кёнига, написанная в 1927 г.[497] Вторая статья, связанная с работой Цермело, была написана Ласло Кальмаром в 1928−1929 гг.[498], [499], но на английский язык её перевели только в 1997 г. До работы Швальбе и Уокера «Цермело и ранняя история теории игр» (Zermelo and the Early History of Game Theory)[500], написанной в 1997 г., по всей видимости, существовал только один корректный анализ работы Цермело — в статье Николая Воробьёва «Управляемые процессы и теория игр» (1955). Проблема в том, что эта книга переводилась только на немецкий язык (1975) и была недоступна англоязычному читателю. Со времён книги Воробьёва в русскоязычной литературе бытовало корректное описание вклада Цермело: «Цермело доказал детерминизм игр, подобных шахматам, и то, что рациональные игроки могут, используя полную информацию, разработать оптимальную стратегию игры». Вот как звучит вопрос, задаваемый Цермело в его статье: «Можно ли определить объективную оценку произвольной позиции в игре, а также наилучший возможный ход <…> или по крайней мере определить их математически объективно, без необходимости ссылаться на субъективные психологические понятия, такие как «идеальный игрок» и тому подобное?»

Прежде чем продолжить рассуждения о вкладе Цермело, давайте рассмотрим вопрос о максимальной длине шахматной партии. Хотя сегодня шахматы уже не столь популярны, как в 1980-е, основные правила этой игры знакомы едва ли не каждому — худо-бедно почти все мы в детстве освоили, что конь ходит «буквой Г» и что пешки не ходят назад. Однако в шахматах есть правила, о которых знает не каждый любитель. Например, установленное Международной шахматной федерацией (FIDE, от французского Fédération Internationale des Échecs) правило пятидесяти ходов гласит, что если в течение пятидесяти ходов ни одна пешка не двинулась вперёд и ни одна фигура не была взята, то в партии присуждается ничья по требованию любого из игроков. Также любой из игроков вправе потребовать присуждения ничьей в случае как минимум троекратного повторения одной и той же позиции. Благодаря правилу пятидесяти ходов ни одна из сторон не может вопреки воле другой стороны затянуть шахматную партию до бесконечности — для того чтобы она не завершилась в соответствии с вышеуказанным правилом, каждые пятьдесят ходов должно происходить хотя бы одно взятие фигуры или движение вперёд пешки и, кроме этого, позиции не должны повторяться. Весьма остроумные подсчёты показывают, что при таких условиях партия не может продолжаться больше примерно 6000 ходов[501]. В теории игроки могут отказаться от требования ничьей, несмотря на повторение позиции или превышение границы, установленной правилом пятидесяти ходов. Специально для таких случаев (в общем-то, сугубо теоретических) в 2014 г. FIDE установила специальное правило, в соответствии с которым при достижении порога в 75 ходов без взятий и движений пешек ничья присуждается автоматически. Словом, в современных шахматах есть такие тонкости, которые известны не многим. Цермело же рассматривал версию игры, в которой бесконечные партии были теоретически возможны.

Цермело задаётся двумя вопросами: во-первых, что означает, что игрок находится в «выигрышной» позиции, и можно ли это определить объективным математическим способом? Во-вторых, если он находится в выигрышной позиции, можно ли определить количество ходов, необходимых для форсированного выигрыша, то есть такого выигрыша, которому противник не может воспрепятствовать?

Чтобы дать ответ на первый вопрос, Цермело утверждает, что необходимым и достаточным условием является непустота определённого множества, содержащего все возможные последовательности ходов, такие, что игрок (например, играющий белыми фигурами) выигрывает независимо от того, как играет другой игрок. Но если это множество будет пустым, лучшее, чего сможет достичь игрок, — это ничья. Аналогичным образом Цермело определяет и другое множество, содержащее все возможные последовательности ходов, такие, что игрок может отложить своё поражение на бесконечное количество ходов, что подразумевает ничью. Это множество также может быть пустым, то есть игрок может отсрочить поражение только на конечное число ходов в случае, если его противник действует правильно. Однако последнее равносильно тому, что противник может добиться победы. Возможность того, что оба набора будут пустыми, означает, что белые не могут гарантировать, что они не проиграют.

Впрочем, первый вопрос представлял лишь незначительный интерес для Цермело. Его гораздо больше интересовал второй — о количестве ходов, необходимом для победы в «выигрышной позиции». Цермело приходит к выводу, что максимально необходимое для победы число ходов не превышает числа возможных позиций в игре. Он использует доказательство от противного: предположим, что число ходов, необходимое белым для победы, превышает число возможных позиций. Тогда как минимум одна выигрышная позиция будет в процессе выполнения этой последовательности ходов возникать на доске дважды. Следовательно, белые могли бы при первом возникновении этой позиции совершить тот же ход, что и во втором случае, и таким образом достичь победы за число ходов, не превышающее количества возможных позиций.

3.3.2 Метод обратной индукции

Часто приписываемый Цермело метод обратной индукции был впервые описан в 1944 г. в монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» [Theory of Games and Economic Behavior] [502], сегодня считающейся одной из основополагающих работ в области теории игр.

Значимость работ Джона фон Неймана для вычислительной техники трудно переоценить. Наверняка вы слышали, что архитектуру большинства современных компьютеров часто называют архитектурой фон Неймана (мы ещё вернёмся к этому термину позже), а сами компьютеры — фон-неймановскими машинами. Кроме того, фон Нейман заложил основы математического аппарата квантовой механики, внёс существенный вклад в теорию операторов (его именем назван особый вид алгебр — алгебры фон Неймана), предложил теорию клеточных автоматов, а также стал одним из ключевых участников Манхэттенского проекта. В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Джона фон Неймана кратеру на обратной стороне Луны. В его память учреждены следующие награды: медаль Джона фон Неймана, Теоретическая премия фон Неймана, «Лекция