понимает и пытаюсь понять, что, может быть, я чего-то не понимаю. Но в данном случае не могу найти объяснение другое чем то, что рецензент не понимает. Конечная математика не может содержать натуральный ряд “как исходный строительный материал” хотя бы потому, что натуральный ряд бесконечен. Рецензент пишет, что, говоря о теоремах Гёделя на стр. 9, я сознательно выбросил упоминание о натуральном ряде. Но я говорил о теоремах только в связи со стандартной математикой. В конечной математике нет натурального ряда и теорем Гёделя.

Конечная математика начинается не с натурального ряда, а с набора чисел Rp=(0,1,2,…p-1) который в литературе называется кольцом вычетов по модулю p, и это отмечено в статье на стр. 8. В этом наборе сложение, вычитание и умножение определяются как обычно, но по модулю p. В теории чисел фраза что что-то берется по модулю p означает, что берется только остаток от деления этого числа на p. Например, возьмем набор чисел (0,1,2,3,4), т. е., p=5. Тогда 3+1=4 как обычно, но 3+2=0 и 3+3=1. Этот набор замкнут относительно этих трех операций т. к. мы всегда получим число из этого набора. А если p простое, то этот набор становится не только кольцом, но и полем т. к. можно ввести деление. Например, 1/2=3, 1/4=4 и т. д. Можно сказать, что все это – экзотика и (или) патология, которая не имеет отношения к жизни, т. к. 3+2 всегда 5, а не ноль.

Ответ на это возражение такой. Допустим, для простоты, что p нечетное. Т. к. операции в нашем наборе определяются по модулю p, то Rp можно представить и как Rp=(-(p-1)/2,-(p-3)/2 … – 1,0,1,… (p-3)/2,(p-1)/2). Тогда, если p очень большое, то для чисел, которые по абсолютной величине <=p, сложение, вычитание и умножение будут такими же как обычно, т. е., в этом случае мы не замечаем p. Отличие от обычного случая будет только для чисел, у которых абсолютная величина сравнима с p. Можно выдвинуть возражение, что все равно все это нефизично т. к. 1/2 равно большому числу (p+1)/2. Но т.к. состояния в квантовой теории проективные, то это возражение ничего не опровергает (как подробно обсуждается в моих работах). Более того, возникает вопрос (см. новый вариант статьи) является ли обычное деление фундаментальной операцией.

Как отмечено в моих работах (например, в [15], которую рецензент читал), указанный набор наглядно можно представить в виде точек на окружности. Это следует из того, что если возьмем любой элемент aϵRp и будем все время прибавлять 1, то за p шагов исчерпаем всё Rp по аналогии с тем, что, когда движемся по окружности в одном направлении, то когда-то вернемся в исходную точку. В то же время, кольцо целых чисел Z можно изобразить целыми точками на бесконечной прямой. Когда p увеличивается, то для все большей части нашего набора сложение, вычитание и умножение становятся как в обычном случае. Это аналогично тому, что когда мы находимся на кривой поверхности, то кривизну не замечаем до тех пор пока расстояния радиуса кривизны. Формальный предел p→∞ наглядно означает, что из Rp мы делаем Z, т. е. как бы разрываем окружность и делаем из нее прямую.

Историческая аналогия здесь очевидна. В течении многих лет люди думали, что Земля плоская, а потом все же поняли, что она круглая. Пока мы имеем дело с расстояниями радиуса кривизны, то кривизну не замечаем. Аналогично, пока еще абсолютное большинство людей думают, что набор чисел – это прямая. Это происходит потому, что в настоящее время число p очень большое и, когда мы имеем дело с числами p, то «кривизну» не замечаем.

Когда мы разрываем окружность, то теряем симметрию т. к. окружность – более симметричная фигура чем бесконечная прямая. Это следует из того, что если возьмем aϵZ и будем все время прибавлять 1, то не исчерпаем всё Z. Для этого надо к a прибавлять +1 и -1, причем бесконечное число раз. И, когда мы разорвали окружность и получили набор целых чисел, то теперь с ними можем наводить большую науку, вводить, рациональные, действительные числа и т.д. Как я объясняю в своих работах (см. также новый вариант статьи), рациональные и действительные числа являются искусственными и для квантовой теории они не нужны. Никто не спорит, что техника стандартного анализа полезна во многих приложениях, но эта техника часто является хорошим приближением потому, что p очень большое. И раз стандартная математика часто хорошо описывает данные даже в квантовой теории, то это не значит, что всегда будет достаточно применять стандартную математику. Например, классическая механика описывает много данных с высокой точностью, но перестает работать когда v/c не мало.

Итак, стандартная математика может трактоваться как формальный предел конечной при p→∞. Конечная математика является более общей (или фундаментальной) т.к. она может воспроизвести все результаты стандартной математики, если взять p достаточно большим. И наоборот, в отличие от того, что пишет рецензент, когда мы уже перешли к пределу p→∞, то вернуться назад мы уже не можем. Стандартная математика не может воспроизвести все результаты конечной т. к. в стандартной математике уже нет операций по модулю p. Ситуация полностью аналогична той, которая описана выше для трех случаев: менее общая теория получается из более общей, когда некоторый параметр, который в более общей теории конечен, формально устремляется к нулю или бесконечности. Это я объясняю в своих работах, в том числе в [15], которую рецензент читал. Но т. к. это не убедило рецензента, то в новом варианте я это объясняю более подробно, тем более, что ЭЧАЯ является обзорным журналом.

Рецензент пишет, что в [15] p – это константа, такая что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов p, а в настоящей работе"…p характеристика конечного поля или кольца. Какая именно характеристика автор не уточняет.". В учебниках по конечной математике число p называется характеристикой конечного поля или кольца, так что все операции производятся по модулю p. Это я писал в предыдущих работах. В настоящей работе смысл p объясняется и в конце раздела 2 говорится, что в теории чисел p – это стандартное обозначение для характеристики поля или кольца, так что тоже объясняется в каком смысле p характеристика. Но все же, в связи с замечанием рецензента, теперь и в новом варианте статьи, как только ввожу p, то сразу пишу, что оно называется характеристикой.

Итак, и в моих предыдущих работах и в данной работе p – это одна и та же