величина. Слова рецензента, что p – это константа, такая что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов p, в общем случае, неправильные. Например, квадратичное расширение колъца Rp является конечным аналогом комплексных чисел и здесь число объектов равно p2. И логика рецензента противоречива: в одном месте он говорит, что я использую натуральный ряд (т. е., бесконечное множество) как "исходный строительный материал" и выбросил упоминание о натуральном ряде, а в другом, что конечная математика имеет дело с конечным числом объектов. Из этих рассуждений следует, что в любой физической теории основанной на конечной математике обязательно есть конечный параметр p, который является характеристикой конечного поля или кольца. Можно было бы сказать, что стандартная теория лучше т. к. в ней нет такого параметра. Но это аналогично тому, что в рассмотренных выше примерах физических теорий сказать, что нерелятивистская классическая теория без гравитации является самой лучшей т.к. в ней нет никаких параметров.

Возникает вопрос, есть ли какие-то соображения для выбора p. Рецензент пишет, что в данной работе "В процессе эволюции Вселенной параметру p необходимо придавать различные значения. По какому закону это надо делать – автор не указывает. Как это согласуется с утверждением, что p – это фундаментальная константа (см пункт (а)), автор не поясняет.".

Вопрос о выборе p очень сложный и, т.к. FQT – еще далеко не законченная теория, в ней нет однозначного ответа на этот вопрос. Когда я начинал работать над FQT, то предполагал, что эта теория должна быть основана на конечном поле. В этом случае p обязательно должно быть простым и, например в [23] обсуждаются различные варианты. Но, после изучения работ M. Saniga и переписки с ним, сейчас думаю, что это необязательно и, т.к. деление не является фундаментальной операцией, то теория над кольцом более привлекательна. В этом случае p необязательно должно быть простым.

В первоначальных работах по FQT я не рассматривал эволюцию, трактовал p как фундаментальный параметр, но не писал, что p – это константа, которая одинакова на всех стадиях эволюции Вселенной. Например, в современных теориях величины cћG считаются фундаментальными константами, но нет закона, что в процессе эволюции Вселенной они все время одинаковы, особенно большие дебаты идут о том меняется ли G со временем. В настоящей работе я рассматриваю гипотезу, что то, что мы воспринимаем как классическое время является следствием того, что p разное на разных стадиях эволюции Вселенной. Т. е. я не говорю, что p меняется со временем т. к. в этой гипотезе само существование времени – следствие того, что p меняется. Основная цель работы – привести аргументы в пользу этой гипотезы. Отмечу, что многие известные факты в науке первоначально были сформулированы как гипотезы и некоторые из них не доказаны до сих пор, например, гипотеза Римана о дзета-функции. Но вокруг этой гипотезы идут большие споры, так что неправильно сказать, что Риман не должен быть публиковать свою гипотезу.

Если моя гипотеза верна и на каждом шаге эволюции то что мы воспринимаем как время каждый раз меняется на одну и ту же величину, то, как следует из формулы (77), величина Δlnp каждый раз меняется приблизительно на одну и ту же величину. Но этот вопрос требует дальнейшего исследования. Надеюсь, что итог этого длинного рассуждения ясен: конечная математика является более фундаментальной чем стандартная. Если рецензент имеет возражения и все равно считает, что вопрос неясен, то буду признателен за любую конструктивную критику.

Рецензент прав, что в [15] FQT трактуется как теория, которую только предстоит построить. Однако, я не понимаю, почему рецензент решил, что в данной работе FQT трактуется как реальная теория. Таких утверждений в статье нет. На стр. 9 написано: «In Refs. [13, 9] and other publications we have proposed an approach called FQT (Finite Quantum Theory) when Lie algebras and representation spaces are over a finite field or ring with characteristic p». Т. е., FQT характеризуется как подход, а не как уже сформировавшаяся теория.

2. Об энергии вакуума

Рецензент пишет: «Автор сознательно умалчивает о том, что «предсказание» окончательной квантовой теории (FQT) о равенстве нулю вакуумной энергии… противоречит хорошо известному в современной физике эффекту Казимира. В рецензируемой статье автор не упоминает об этом «предсказании» FQT… и пояснений не дает». Опишу в чем смысл моего результата о нулевой вакуумной энергии. Возьмем какую-то стандартную QFT, например QED. Здесь считается, что энергия вакуума должна быть нулевой, но после квантования для нее получается бесконечное выражение. Чтобы избежать этого, говорят, что операторы рождения-уничтожения должны быть записаны в нормальной форме. Из постулатов теории это не следует, просто мы хотим иметь нулевую энергию вакуума. В работе [15], которую упоминает рецензент, я ссылаюсь на свое подробное вычисление, например, в [3]. Это вычисление заключается в следующем. Во-первых, как написано в [15], я рассматриваю случай когда частицы не нейтральны, т.е., не совпадают со своими античастицами. Беру выражение для энергии вакуума, которое в стандартной теории является бесконечным, но считается, что энергия должна быть нулевой. Вычисляю эту же сумму, но над конечным полем и получаю что для частиц со спином 1/2 сумма равна нулю. Далее в [15] я пишу: “Our conclusion is that while in standard theory the vacuum energy is infinite, in FQT it is not only finite (in finite mathematics it cannot be infinite) but is exactly zero if s=1 (i.e. s=1/2 in the usual units)”.

Так что результат чисто технический: просто вычисляется сумма, которая в стандартной теории бесконечна и показывается, что в FQT для не нейтральных частиц со спином 1/2 она равна нулю. Не буду обсуждать насколько результат фундаментальный, но, во всяком случае, чисто формально никакого противоречия с эффектом Казимира нет.

Но все же замечу следующее. Во-первых, в литературе обсуждается, согласуется ли эффект Казимира с тем, что в квантовой гравитации считается, что энергия вакуума обязана быть нулевой. Кроме того, в эффекте Казимира речь идет не о вакуумной энергии всей системы, а о вакуумной энергии только электромагнитного поля в присутствии других тел. Т.е., даже не совсем понятно, может ли в таком случае термин «вакуумная энергия» быть физически правильным т.к. среднее значение оператора энергии электромагнитного поля не равно нулю не в вакууме, а когда есть другие тела.

Так что заявление рецензента, что я сознательно скрыл свой результат, чтобы не показать противоречие FQT с эффектом Казимира, необоснованно. Противоречия никакого нет, и к данной работе этот результат не имеет отношения.