В главе 23 мы увидим, что Пуанкаре определил эйлерову характеристику в многомерных топологических пространствах и доказал, что это топологический инвариант. Но прежде чем обсуждать результаты Пуанкаре, следует поговорить о понятии размерности и некоторых ранних попытках обобщить эйлерову характеристику.

Все мы знакомы с 0-, 1-, 2- и 3-мерным пространством. В трехмерном пространстве мы живем. Деревья, дома, люди, собаки — все это трехмерные объекты. В трехмерном пространстве встречаются двумерные объекты, например классная доска, лист бумаги или телеэкран. Струна, гимнастическое бревно, телефонный шнур — одномерные объекты. Точка в конце предложения нульмерна.

Принято ассоциировать размерность с геометрическими фигурами: точками, прямыми и плоскостями. Но, как мы видели в предыдущих главах, нам необходимо определение размерности, не столь жесткое, как в геометрии. Перспективнее говорить о размерности в терминах степеней свободы: размерность — это число независимых направлений, в которых может перемещаться объект.

Рассмотрим стаю птиц на рис. 22.1. У каждой птицы имеются ограничения на перемещение — у них разное число степеней свободы. Птица, сидящая на телеграфном столбе, вообще никуда не может лететь. Она находится в нульмерном пространстве. Птица на проводе может двигаться вбок. У нее одна степень свободы, т. е. она обитает в 1-мерном пространстве. Птица, находящаяся на земле, живет в 2-мерном пространстве, а летящая птица — в 3-мерном. Заметим, что ни слова не было сказано о прямых и плоскостях, только о степенях свободы. Провисший провод, безусловно, не является прямой линией, а на земле есть ухабы и колдобины.

Рис. 22.1. Птицы в 0-, 1-, 2- и 3-мерном пространстве

Поскольку мы живем в 3-мерном мире, нам легко воспринять идею размерности 0, 1, 2 и 3. Четыре и более измерений выходят за пределы нашего чувственного опыта. Изучая скрещенные колпаки, бутылку Клейна и проективную плоскость, мы осознали необходимость четвертого измерения. И хотя вообразить переход в четвертое измерение нелегко, представить сами эти 4-мерные поверхности не составляет особого труда, ведь они по большей части трехмерные. Топологические объекты, которые требуют большего, чем короткий «объезд» через четвертое измерение, — совсем другая история.

Часто доводится слышать, что четвертое измерение — это время. Такая точка зрения была введена в обиход Жозефом-Луи Лагранжем примерно в 1788 году196. Время — величина, с которой мы все знакомы, и она могла бы помочь воспринять 4-мерное пространство. Но тут есть один подвох. Нельзя игнорировать «стрелу времени». У трех знакомых нам физических измерений нет направления. Частицы могут двигаться взад-вперед по прямой, не нарушая законов физики. Однако та же самая частица не может двигаться назад во времени. По сравнению с тремя другими измерениями у времени определенно есть принципиальное отличие. В общем случае мы не хотим, чтобы наше четвертое измерение обладало таким ограничительным свойством.

На практике многомерные пространства возникают естественно. Для расчета движения космического челнока нужно шесть измерений — три для определения положения в пространстве и три для скорости. Чтобы задать положения и скорости Солнца, Земли и Луны, нужно восемнадцать измерений. Экономисты при построении финансовой модели, экологи при изучении популяций и физики в квантовой теории оперируют очень большим количеством переменных (каждая из которых является измерением). С математической точки зрения, измерений может быть сколько угодно.

Каким бы ни был источник многомерного пространства, в нашем обсуждении предполагается, что все измерения физические, не отличающиеся от привычных трех измерений. Мы не утверждаем, что существует больше трех физических измерений. Может, да, а может, и нет (физики, занимающиеся теорией струн, считают, что измерений по меньшей мере десять). С точки зрения математики, это несущественно.

n-мерное евклидово пространство обозначается ℝn. ℝ1 — множество вещественных чисел — та самая числовая прямая, которую мы изучали в школе. Каждую точку на прямой можно представить одним значением x. ℝ2 — бесконечная плоскость. На ней определены координатные оси x и y, с помощью которых можно представить любую точку упорядоченной парой (x, y). Трехмерное евклидово пространство обозначается ℝ3, каждая точка в нем представляется упорядоченной тройкой (x, y, z). Чисто математически обобщить эти понятия на n-мерное евклидово пространство тривиально. Каждую точку в ℝn можно единственным способом описать упорядоченным кортежем длины n — (x1, x2…, xn). Мы можем работать с такими многомерными пространствами вне зависимости от того, существуют они физически или нет.

Мы много времени посвятили изучению поверхностей. При описании поверхностей мы считали, что они локально двумерные. Муравей, обитающий на поверхности, имеет две степени свободы. Ту же идею можно обобщить на многомерные пространства. n-мерным многообразием называется топологический объект, который локально выглядит как n-мерное евклидово пространство. У обитателей такого многообразия имеется n степеней свободы. Как и поверхности, многообразия характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Они могут иметь дырки и другие нетривиальные топологические особенности. Но вне зависимости от глобальных характеристик вблизи все n-мерные многообразия похожи на ℝn.

Подобно поверхностям, n-мерные многообразия могут быть ориентируемыми и неориентируемыми. Самый простой способ проверки на ориентируемость дает критерий Дика (глава 16). Пусть имеется два одинаковых набора осей координат на неориентируемом n-мерном многообразии. Тогда можно переместить один набор осей вдоль многообразия таким образом, что когда он вернется в исходную точку, все оси не удастся совместить. Например, в случае 3-мерного многообразия, если совместить оси x и y, оси z будут направлены в разные стороны (см. рис. 22.2).

Рис. 22.2. Оси координат на неориентируемом 3-мерном многообразии

Многообразия любой размерности могут иметь края, и край n-мерного многообразия является многообразием на единицу меньшей размерности. Край 1-мерного многообразия — 0-мерное многообразие (две точки), край 2-мерного многообразия (поверхности) — 1-мерное многообразие (одна или несколько окружностей), а край 3-мерного многообразия (тела) — поверхность. Например, краем сплошного тора является обычный (полый) тор. Краем сплошного шара является сфера, и вообще n-мерный шар Вnявляется n-мерным многообразием, а его краем — (n — 1) — мерная сфера Sn-1 (определения Sn и Вn см. в главе 19.)

История многообразий восходит к Риману и его изучению многозначных комплексных функций и ассоциированных с ними римановых поверхностей. Но только на рубеже XX столетия Пуанкаре показал, что многообразие — важный объект исследования и предложил несколько способов его описания. Пожалуй, простейший из них — выразить многообразие в виде подмножества ℝn с помощью одного или нескольких уравнений. Например, уравнение х2 + у2 +z2 = 1 определяет сферу, а (3- √ X2 + у2)2 + z2 = 1 — тор. Оба многообразия находятся в R3.