Исследуя содержимое библиотеки, библиотекарь выясняет, что книги в большинстве своем бесформенны и хаотичны, но время от времени встречается и нечто интересное. Он находит книгу, в которой от первой до последней строки повторяются буквы MCV. В другой книге лабиринт букв прерывается на предпоследней странице фразой «О время, твои пирамиды…», а затем снова следует бессмысленный шум.

Задача, которую ставит себе библиотекарь, – установить, действительно ли библиотека бесконечна, а если нет, то какова ее форма. По ходу повествования предлагается гипотеза о природе библиотеки: «Библиотека всеобъемлюща… на ее полках можно обнаружить все возможные комбинации двадцати с чем-то орфографических знаков (число их, хотя и огромно, не бесконечно) или все, что поддается выражению – на всех языках. Всё». Библиотека содержит все книги, которые только можно написать. Где-то на ее полках есть «Война и мир» Толстого. И «Происхождение видов» Дарвина. И «Властелин колец» Толкина, как и все переводы всех этих произведений на все языки. Даже эта книга находится где-то среди томов, стоящих на полках библиотеки, – и я, дописав сейчас только до этого места, очень хотел бы найти эту книгу и избавить себя от мучительного труда дописывать остальное!

Учитывая, что размеры всех книг одинаковы, можно подсчитать, сколько книг имеется в библиотеке. Если есть всего 25 символов (предположительно, с учетом пробелов, точек и запятых), то существует 25 вариантов первого символа текста и 25 вариантов второго. Это уже дает 25 ×25 = 252 возможных вариантов первых двух символов. В первой строке 80 символов. Поскольку для каждого из них есть 25 вариантов, число возможных первых строк равно 2580.

Продолжим это рассуждение и подсчитаем число возможных первых страниц. Поскольку на каждой странице по сорок строк, получится (2580)40 = 2580×40 возможных вариантов. Теперь мы можем вычислить суммарное количество книг в библиотеке. Это даст нам (2580×40)410 = 2580×40×410 возможных книг. Это очень много книг. Поскольку в наблюдаемой части Вселенной содержится всего 1080 атомов, даже если каждый атом был бы книгой, мы не смогли бы даже приблизиться к суммарному числу книг в Вавилонской библиотеке. Тем не менее это число конечно. Мы вполне можем запрограммировать компьютер так, чтобы он последовательно создал все эти книги за конечное время. Правда, с учетом современных оценок времени, оставшегося до распада Вселенной до состояния холодной пустоты, это будет неосуществимо на практике, но мы пока что останемся в царстве теории и вымысла.

Когда было объявлено, что библиотека содержит все книги, первой реакцией был бурный восторг. Но затем он сменился глубоким унынием, потому что стало понятно, что в библиотеке, в которой есть всё, на самом деле нет ничего. В Библиотеке Бодли[93], в которой работаю я, есть Толстой, Дарвин и Толкин и будет моя книга (когда она выйдет в свет), но она отличается от Вавилонской библиотеки тем, что определенные комбинации букв были признаны человеком – или множеством людей – достойными занять место в этой библиотеке в качестве элементов нашей литературной вселенной.

Перейдем, однако, в математический отдел, в котором хранятся авторитетные журналы вроде Annals of Mathematics и Les Publications mathématiques de l’IHES. Какие качества необходимо вложить в журнал, чтобы он смог занять место на этих полках? Я думаю, многим кажется, что эта часть библиотеки стремится стать своего рода Вавилонской библиотекой математики, что делом математиков на протяжении многих веков было и остается документирование всех истинных утверждений о числах и геометрических фигурах. Иррациональность квадратного корня из 2. Список конечных простых групп. Формула объема шара. Определение брахистохроны, то есть кривой скорейшего спуска.

Именно это пытались сделать в проекте «Мицар»: взять список математических утверждений и посмотреть, можно ли перейти от начальных аксиом к этим утверждениям или утверждениям, обратным им. Критерий отбора для базы данных «Мицара» состоит в наличии у утверждения доказательства. При этом не учитывается, что именно означает это утверждение и считает ли его кто-нибудь достаточно интересным, чтобы поделиться им с другими математиками. Это просто Вавилонская библиотека, содержащая всё то, что можно доказать.

На мой взгляд, такой подход противоречит самому духу математики. Математика – не перечень всех истинных утверждений о числах, которые мы можем открыть. Возможно, это поразит большинство нематематиков. Математики – такие же рассказчики, каким был Борхес. Числа и геометрические фигуры – это наши персонажи. Доказательства – это повествования, которые мы сочиняем об этих персонажах. И решения о том, какие из этих историй достойны изложения, мы принимаем, исходя из своей эмоциональной реакции на эти повествования.

Позвольте мне процитировать одного из моих математических кумиров, Анри Пуанкаре, объяснявшего, чем является для него работа математика: «Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными. Творить – это отличать, выбирать… Бесплодные комбинации даже и не представляются уму изобретателя»[94]. Так создается математика или открывается? Нам кажется, что мы ее создаем, именно из-за этого элемента выбора. Разумеется, та же идея может прийти в голову и кому-то другому. Но то же можно сказать и о «Бесплодной земле» Элиота, и о Большой фуге Бетховена. Ноты можно было выбрать таким множеством разных способов, что мы не можем себе представить, чтобы эти великие произведения сочинил кто-нибудь другой. Для большинства людей оказывается удивительным, что такая же свобода существует и в математике.

Суть математики, как чрезвычайно изящно сформулировал Пуанкаре, состоит в выборе. Каковы же критерии, определяющие, попадет ли то или иное математическое произведение в журналы? Почему доказательство Великой теоремы Ферма считают одним из высших достижений математики прошлого века, а другие, не менее сложные численные расчеты кажутся прозаическими и неинтересными? В конце концов, чем так уж интересно знание, что у уравнения xn+ yn= znнет целочисленных решений при n > 2?

Мне кажется, что именно в этом месте математика становится в большей степени искусством, чем практически полезной наукой. Именно повествование, содержащееся в доказательстве теоремы, возвышает истинное утверждение о числах до чего-то, достойного места в пантеоне математики. На мой взгляд, у хорошего доказательства есть много общего с великим литературным произведением или великой музыкальной композицией, которая увлекает своих слушателей в путешествие, полное преображений и изменений.

Математические басни

Возможно, чтобы дать вам представление о повествовательном аспекте доказательства, лучше всего будет рассказать одну из таких математических историй. Речь идет об одном из первых доказательств, с которыми я познакомился, когда прочитал в тринадцать лет прекрасную книгу «Апология математика» Г.Г. Харди. Грэм Грин назвал эту книгу, описывающую, что значит быть математиком, лучшим описанием творческой работы художника со времен дневников Генри Джеймса.