Харди рассказывает в этой книге, вероятно, об одном из самых первых доказательств в истории математики, найденном еще Евклидом. Главные действующие лица этого доказательства – простые, то есть неделимые, числа, такие как 3, 7 или 13. Повествовательное путешествие, в которое я хочу вас пригласить, должно показать, что таких персонажей существует бесконечное множество и, если попытаться их все перечислить, это перечисление будет продолжаться вечно. Я уже показал вам в этой главе, как излагает это доказательство «Мицар». А теперь, с вашего разрешения, эту историю расскажу я.

Доказательство подобно математическому путевому дневнику. Евклид выглянул в свое математическое окно и увидел вдали математическую гору – утверждение о существовании бесконечного количества простых чисел. Следующим поколениям математиков нужно было найти путь, ведущий из знакомой области, карты которой математики уже составили, в эту новую, неизведанную землю.

Подобно рассказу о приключениях Фродо во «Властелине колец», доказательство – это описание путешествия из Шира в Мордор. В пределах знакомых земель Шира находятся математические аксиомы, самоочевидные истины о числах, а также те утверждения, которые уже были доказаны. Они представляют собой декорации, в которых начинается поход. Путешествие из этой родной области подчиняется правилам математического вывода, которые работают так же, как правила ходов шахматных фигур: они указывают, какие действия разрешены в этом мире. Временами путешественник попадает в кажущийся тупик и вынужден менять маршрут – уходить в сторону или даже возвращаться, чтобы найти путь, позволяющий обойти препятствие. Иногда для продолжения пути приходится ждать появления новых математических персонажей – например, мнимых чисел или дифференциального и интегрального исчисления.

Доказательство – это рассказ о походе и карта, на которую нанесены координаты пути. Это бортовой журнал математика. Успешное доказательство будет выполнять функцию системы указателей, позволяющих впоследствии всем математикам проделать тот же путь. Читатели доказательства переживают такое же, как и его автор, волнующее осознание, что эта дорога позволит им добраться до такой далекой и неприступной с виду горной вершины. Очень часто доказательство не пытается расставить все точки над «i», так же как в повествовании литературном не излагаются все подробности жизни персонажа. Это описание путешествия, а не повторение каждого его шага. Рассуждения, которые приводят математики, должны направлять мысли читателя. Харди называл наши рассуждения «болтовней, риторическими украшениями, которые должны производить психологический эффект, сопровождающими лекцию рисунками на доске, средством стимулировать воображение учеников».

Необычное свойство математических историй состоит в том, что они часто начинаются с конца. Задача состоит в том, чтобы показать, как прийти к этой развязке от того места саги, в котором мы находимся сейчас. Для повествовательного путешествия нужна некоторая экспозиция – краткое изложение случившегося раньше и описание уже известной территории. Нужно напомнить, что одна из важных характеристик простых чисел состоит в том, что они являются составными элементами всех остальных чисел. Любое число может быть получено перемножением простых чисел – например, число 105 равно произведению 3 ×5 ×7. Правда, иногда простые числа приходится повторять: скажем, 16 = 2 ×2 ×2 ×2.

Итак, начнем наш путь к объяснению того, почему существует бесконечное количество простых чисел. Предположим, что это не так и мы можем составить полный перечень этих персонажей, список действующих лиц. Это классический повествовательный прием из арсенала математика. Нужно вообразить мир, в котором истинна противоположность того, что мы пытаемся доказать, – как в «Алисе в Стране чудес» или «Волшебнике из страны Оз» – и позволить логике повествования привести нас к абсурдному заключению.

Представим себе на мгновение, что этот список действующих лиц состоит из простых чисел 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Тогда нетрудно показать, что в нем чего-то недостает. Перемножим этих персонажей:

2 ×3 ×5 ×7 ×11 ×13

Тут наступает момент, для меня подобный повороту сюжета, который приводит к потрясающей и неожиданной развязке. Что будет, если прибавить к этому числу 1?

2 ×3 ×5 ×7 ×11 ×13 + 1

Это новое число, которое я сконструировал с участием основных персонажей, тоже должно быть произведением простых чисел. Вспомним, что это правило было одним из элементов той известной обстановки, из которой мы начали это путешествие. На какие же простые числа делится созданное нами новое число? Они никак не могут входить в наш список действующих лиц. При делении на любое число из этого списка должен получаться остаток, равный 1. Но на какие-то простые числа это число делиться должно: значит, есть простые числа, не входящие в наш список. На самом деле это число получается перемножением 59 и 509.

Можно предложить добавить этих новых персонажей в наш список действующих лиц, но прелесть этой истории в том, что ее можно рассказывать снова и снова и каждый раз будет обнаруживаться, что в ней недостает персонажа. Мораль ее состоит в том, что для любого конечного списка простых чисел всегда можно найти персонажей, которые в него не вошли. Следовательно, количество простых чисел бесконечно.

Ч.т.д., как обычно говорят математики в завершение своих рассказов.

Истории о неожиданном

С моей точки зрения, в математическом построении важно не «ч.т.д.», не окончательный результат, а тот путь, который я прохожу, чтобы дойти до этой точки, – так же, как музыка не сводится к заключительному аккорду. Безусловно, важно знать, что количество простых чисел бесконечно, но удовольствие мы получаем от знания, почему это так. Наслаждение от чтения и создания математических выкладок связано с тем восхитительным моментом озарения, когда мы чувствуем, что все фрагменты складываются воедино и дают нам решение головоломки. Это похоже на момент разрешения в музыке или развязки в детективной истории.

Элемент неожиданности – важный аспект математики. Вот как описывает то, что больше всего привлекает его в математике, математик Майкл Атья: «Мне нравятся неожиданности. Рассуждение, следующее по стандартному пути, в котором мало нового, бывает скучным и неинтересным. Я люблю неожиданное, новые точки зрения, связи с другими областями, резкие повороты». Когда я разрабатываю новое математическое построение, на решения, которые я принимаю, влияет мое стремление увлечь читателя в интересное путешествие, полное крутых поворотов и неожиданностей. Я хочу помучить своих читателей вопросом о том, что может быть общего между двумя, казалось бы, не связанными друг с другом персонажами. А потом, по мере развития доказательства, приходит постепенное понимание или внезапное осознание того факта, что эти две идеи на самом деле одно и то же.

Одна из моих любимых теорем касается весьма любопытного свойства простых чисел некоторых типов, которое открыл Ферма. Он считал, что любое простое число, которое дает при делении на 4 остаток, равный 1, всегда можно записать в виде суммы двух квадратных чисел. Например, простое число 41 делится на 4 с остатком 1. И действительно, 41 можно выразить в виде 25 + 16, то есть 52 + 42. Но может ли это утверждение быть верным для всех таких простых чисел? Количество простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4, бесконечно. Какое отношение они могут иметь к полным квадратам?