по абсолютной величине, свидетельствуют о преобладании случайной компоненты в общем комплексе колебаний. В случае, изображенном на рис. 6.3, ra1U = -0,025.

6.2. Измерение показателей силы и интенсивности колебаний

Показатели силы и интенсивности колебаний аналогичны по построению, по форме показателям силы и интенсивности вариации признака в пространственной совокупности. По существу они отличаются тем, что показатели вариации вычисляются на основе отклонений от постоянной средней величины, а показатели, характеризующие колеблемость уровней временного ряда, — по отклонениям отдельных уровней от тренда, который можно считать «подвижной средней величиной».

6.2.1. Показатели абсолютной величины (силы) колебаний

Первый показатель — амплитуда (размах) колебаний — разность между наибольшим и наименьшим по абсолютной величине отклонениями от тренда. Например, размах колебаний объема экспорта из Японии за 1988–1995 гг. (см. табл. 5.4) составил: 5 — (-4) =9 млрд. дол. Размах колебаний затрат условного топлива на 1 кВт-ч электроэнергии (см. табл. 5.5) составил: 14 — (-8) = 22 г топлива на 1 кВт-ч.

Размах колебаний урожайности зерновых культур во Франции (см. приложение 1) составил 6,6 — (—7,4) = 14 ц/га. Показатель амплитуды колебаний характеризует лишь крайние пределы, но не среднюю силу колеблемости. Чем длиннее ряд, тем больше вероятность того, что в нем встретится особенно большое отклонение от тренда. Поэтому с увеличением длины изучаемого периода возрастает в среднем и амплитуда колебаний в отличие от всех других показателей колеблемости, которые не зависят от длины ряда.

Вторым показателем колеблемости по абсолютной величине (силе) является среднее по модулю отклонение от тренда, которое мы обозначим как a (t):

Знак t отличает указанный и все последующие показатели от аналогичного среднего по модулю отклонения от постоянной средней величины, меры силы вариации в пространственной совокупности. Средний модуль отклонений измеряется в тех же единицах, что уровни ряда. Например, согласно данным табл. 5.6 среднее по модулю отклонение от тренда численности населения Земли в 1950–2000 гг. может составить примерно 43,3 млн чел. Средний модуль отклонений урожайности зерновых культур от тренда во Франции по данным приложения 1 составил 2,68 ц/га.

Хотя средний модуль отклонений тренда вполне пригоден как обобщающий показатель силы колебаний за изучаемый период, но, как известно, модули имеют и существенные недостатки, в частности, с ними невозможно связать вероятностные законы распределения. Поэтому модули не пригодны для прогнозирования доверительных границ возможных колебаний с заданной вероятностью (см. гл. 10).

Чаще всего в качестве третьего показателя силы колебаний используется среднее квадратическое отклонение уровней ряда от тренда, обозначаемое как σ(t) или S(t).

Если речь идет только об измерении колеблемости во временном ряду и не ставится задача оценки силы колебаний вообще в прогнозе на будущее, тогда следует вычислять и использовать обычное среднее квадратическое отклонение:

Если же речь идет о вычислении оценки генерального показателя колеблемости, а исходный временной ряд рассматривается как выборка из генерального ряда, продолжаемого и в прошлое и в будущее, то следует учитывать потерю степеней свободы колеблемости и применять показатель:

где р — число параметров в уравнении тренда.

Причину учета числа параметров тренда можно проиллюстрировать следующими примерами.

Линейный тренд имеет два параметра — а и Ь. Если из ряда уровней взять только уровни двух любых периодов, то, как известно из геометрии, прямая точно пройдет через две любые точки, мы увидим только тренд и не увидим никаких колебаний. Аналогично, если оставить от ряда три любых уровня, тренд в форме параболы II порядка, имеющий три параметра, точно пройдет через три точки графика, в результате колеблемость останется «за кадром», так как у нее нет ни одной степени свободы. Поэтому, оценивая генеральное среднее квадратическое отклонение уровней от тренда, нужно учесть потерю степеней свободы колебаний на величину, равную количеству параметров уравнения тренда. Именно такая несмещенная оценка генерального параметра может быть распространена на будущие периоды, т. е. она необходима в прогнозировании (см. гл. 10). Среднее квадратическое отклонение, как известно, входит в формулу нормального закона распределения вероятностей, на его основе можно рассчитывать вероятности ошибок прогнозов и их доверительные границы.

6.2.2. Показатели относительной интенсивности колебаний

Показатели относительной интенсивности вариации рассчитываются как отношение ее абсолютных показателей к постоянной средней величине, относительной интенсивности колебаний — как отношение индивидуальных отклонений отдельного периода к уровню тренда за этот же период, а обобщающие показатели — как отношение обобщающих показателей силы колебаний за весь ряд к обобщающему показателю уровней ряда — среднему уровню.

Например, мы хотим оценить интенсивность отклонения урожайности зерновых во Франции от ее тренда в 1976 г. Абсолютное отклонение составило -7,4 ц/га, а уровень тренда (см. приложение 1) = 41,8 ц/га. Интенсивность отклонения (колебания) равна: -7,4: 41,8 =-0,177, или -17,7 %. Это очень серьезный неурожай. В 1995 г. отклонение урожайности зерновых от тренда по абсолютной величине тоже было значительным: -6,2 ц/га. Но в том же году уровень тренда поднялся уже до 69,4 ц/га, поэтому интенсивность отклонения составила: -6,2: 69,4 = — 0,0896, или -8,96 %, что можно считать не сильным, а умеренным неурожаем.

Обобщающим показателем интенсивности колебаний урожайности зерновых культур во Франции служит отношение оценки генерального среднего квадратического отклонения уровней от тренда S(t) к средней величине урожайности за весь период 1970–1995 гг., что, согласно приложению 1, составляет: 3,54 ц/га: 51,25 ц/га = 0,069 ц/га, или 6,9 %.

Напомним, что при криволинейном тренде средний уровень не равен свободному члену уравнения тренда, так же как и при прямолинейном тренде, но при отсчете периодов от начала, а не от середины ряда. В этих случаях делить обобщающий показатель силы колебаний S(t) нужно не на свободный член уравнения, а на средний уровень изучаемого показателя. Например, интенсивность колебаний расхода условного топлива на выработку 1 кВт-ч электроэнергии (см. табл. 5.5) составляет:

√[382/(7–2)]:(2555/7) = 8,74:365 = 0,0239, или 2,39 %.

Колеблемость очень слабая. Аналогично коэффициенту пространственной вариации отношение среднего квадратического отклонения от тренда к среднему уровню временного ряда называют коэффициентом колеблемости, который мы обозначаем, для отличия от коэффициента пространственной вариации, как V(t). Его формула

V(t) = S(t)/y¯(6.6)

— для оценки генеральной величины и прогнозов или

V(t) = σ(t)/y¯(

— для измерения интенсивности колебаний за данный период как изолированный отрезок, без распространения на прошлые и будущие периоды времени.

Величина коэффициента колеблемости также играет важную роль при анализе устойчивости в динамике (см. гл. 8).

В заключение необходимо подчеркнуть, что любая погрешность в определении типа тренда или при расчете его параметров приводит к преувеличению показателей силы и интенсивности колебаний. Так как реальные